Seminario de Sistemas Dinámicos

El objetivo es contar algunos ejemplos y preguntas que estamos haciendonos con Leon Carvajales y Pablo Lessa relacionados a grupos discretos de grupos de Lie con ciertas propiedades geometricas y de estabilidad. 

Este trabajo investiga las similitudes entre los homeomorfismos de Brouwer (homeomorfismos del plano que preservan la orientación y no tienen puntos fijos) y los mapas de tiempo-1 de flujos autónomos no singulares en el plano (aquí llamados simplemente flujos). Nos interesa la pregunta: Sea f un homeomorfismo de Brouwer y sean O1,...,Or órbitas de f. ¿Podemos hacer una isotopía de f a un flujo F fijando todas las órbitas O1,...,Or?

El primero en trabajar en este problema fue M. Handel, seguido años después por F. Le Roux y J. Bavard. Utilizando la llamada teoría homotópica de Brouwer, consiguieron demostrar que la respuesta a esta pregunta es sí, si r=1,2 ó 3, pero no si r>3. Estos resultados son muy útiles, ya que nos permiten importar algunas propiedades rígidas y bien comprendidas de los flujos al contexto de los homeomorfismos. Sin embargo, existen muy pocas o ninguna conexión entre la maquinaria desarrollada en estos trabajos y las herramientas modernas que se utilizan actualmente en la dinámica topológica de superficies, como por ejemplo la teoría de Brouwer foliada.

Nuestro objetivo es primero: construir una nueva estructura para esta teoría, más natural e intuitiva, preferencialmente basado en la teoría de Brouwer foliada y la noción de trayectorias transversales. A partir de aquí, queremos explorar nuevos conceptos que esta construcción nos permite investigar. En particular, mostramos que ahora es possible distinguir clases de isotopía de Brouwer (isotopías que no crean puntos fijos) de un homeomorfismo del plano relativas a sus órbitas O1,...,Or.

Al estudiar la dinámica de un grupo G actuando en un espacio topológico X el objetivo principal es el de entender las clausuras de las órbitas y como estas se distribuyen en ella. En dinámica homogénea, es decir, donde la dinámica está dada por la acción de un subgrupo en un cociente de un grupo de Lie, los teoremas de Ratner dan una respuesta muy precisa a este objetivo.

Los resultados de Benoist-Quint son los primeros en obtener descripciones precisas de clausuras de órbitas cuando el grupo que actúa no es necesariamente generado por unipotentes.

En el seminario daremos la demostración planteada por Yves Benoist y Hee Oh, de un caso particular del teorema de Benoist-Quint. Concretamente, demostraremos que, dado un subgrupo G1 de PSL(2,R) convexo cocompacto y un subgrupo G2 de PSL(2,R) cocompacto y sin torsión, las órbitas en G2\PSL(2,R) por la acción a derecha de G1 son o bien densas o bien finitas.

 Decimos que un grupo G es ordenable si existe un orden total en G que cumple: si h<k entonces gh<gk, para todo g,h,k en G.

Ser ordenable es una propiedad con un costado muy dinámico ya que es equivalente a que el grupo actúe fielmente en la recta real por homeomorfismos que preservan la orientación. En el 2006 Witte Morris probó el siguiente

Teorema: Sea G un grupo ordenable a izquierda y promediable. Entonces G es localmente indicable (i.e. todo subgrupo finitamente generado de G admite un morfismo a Z).

Vamos a mostrar otra prueba de este resultado, obtenida a Bertrand Deroin, que utiliza el espacio de representaciones del grupo G en Homeo_+(R) (el grupo de homeomorfismos de la recta). Luego, veremos algunas preguntas (y unas pocas respuestas), que surgen de esta prueba, sobre el espacio de representaciones de grupos promediables en Homeo_+(R) . Esta última parte es un trabajo en progreso junto a Nicolás Matte Bon, Cristóbal Rivas y Michele Triestino. Se intentará ser auto-contenido.

El estudio de existencia, finitud y unicidad de medidas de maxima entropía es un problema de gran interés en dinámica y termodinámica. Newhouse 89 probó que mapas suaves siempre tienen medidas de máxima entropía y recientemente Buzzi, Croviser y Sarig 22 probaron que en dimension 2, difeomorfismos con entropia topológica positiva tienen una cantidad finita de medidas de máxima entropía, y en el caso transitivo una única.
En dicho trabajo Buzzi, Crovisier y Sarig relacionaron la cantidad de medidas de maxima entropía con la cantidad de clases homoclínicas de medidas hiperbólicas, probaron que en cada clase homoclínica existe como máximo una medida de máxima entropía.

En este seminário voy a mostrar una generalización del resultado de unicidad de medidas de maxima entropía en clases homoclínicas para mapas no invertibles y voy a dar 3 aplicaciones de dicho resultado:
Finitud de medidas de máxima entropía para endomorfismos parcialmente hiperbólicos.
Unicidad de medidas de máxima entropia para una clase de endomorfismos conservativos sin descomposición dominada introducida por Andersson, Carrasco y Saghin.
Unicidad de medidas de maxima entropía expansoras para mapas con singularidades, tipo Viana-Maps.

Este es un trabajo en conjunto com Yuri Lima y Davi Obata.

Width is a classical geometric invariant of plane curves. It measures how narrow they are. Its definition, however, is based on Euclidean geometry and not easily generalisable beyond other constant curvature spaces. We will discuss how the variational theory of the Riemannian distance function, developed along the lines of Lusternik-Schnirelmann theory, can be used to define a meaningful notion of width for curves embedded in any complete Riemannian manifold, of any dimension. In particular, this definition allow to generalise another classical notion - curves of constant width - and to prove the existence of geodesics that meet two points of the curve in certain geometrically special configurations - for instance, in same cases, orthogonally. The talk will be based on joint work with Rafael Montezuma (UFC - Fortaleza) and Roney Santos (USP - São Paulo).

Junto con Renato Iturriaga (Cimat, Guanajuato) hemos descubierto en el pasado mes de octubre una muy simple y fundamental descomposición de la ecuación de Jacobi a lo largo de los movimientos homográficos. Estos movimientos, descubiertos esencialmente por Euler y Lagrange son los únicos que se conocen explícitamente, y son esencialmente encajes del movimiento Kepleriano que es integrable. Encontramos esta descomposición para estudiar un problema de scattering, que resolvimos, pero evidentemente no pudimos dejar de abordar, con la perspectiva de esta descomposición, la estabilidad de las órbitas periódicas homográficas, y encontramos nuevos criterios de inestabilidad.

Voy a demostrar la inestabilidad que se observa en el siguiente video, que simula numéricamente una órbita muy cercana a la célebre periódica elíptica de Lagrange:

https://youtu.be/D2YhKaANbWE?si=bNqvEj3_u4qiuEDa

En el 2011, Avila y Kocsard mostraron que difeos $C^{\infty}$ del círculo con número de rotación irracional no admiten distribuciones invariantes de ningún orden. Poco tiempo después, en el 2013, Navas y Triestino mejoraron algunas partes de este trabajo, relacionando distribuciones invariantes de orden 1 con la noción de medidas automorfas, introducida por Douady y Yoccoz en los ochenta. En esta charla vamos a discutir estos conceptos, y ver cómo pueden extenderse a mapas con puntos críticos. Trabajo en colaboración con Edson de Faria (USP) y Bruno Nussenzveig (CUNY).

A quasigeodesic in a manifold is a curve so that when lifted to the universal cover is uniformly efficient up to a bounded multiplicative and added error in measuring length. A flow is quasigeodesic if all flow lines are  quasigeodesics. We prove that an Anosov flow in a closed hyperbolic manifold is quasigeodesic if and only if it is not R-covered. Here R-covered means that the stable 2-dim foliation of the flow, lifts to a foliation in the universal cover whose leaf space is homeomorphic to the real numbers. There are many examples of quasigeodesic Anosov flows in closed hyperbolic 3-manifolds. There are consequences for the continuous extension property of Anosov foliations, and the existence of group invariant Peano curves associated with Anosov flows.

In 1981, E. Ghys proved that any Anosov flow on a circle bundle M over a surface S is a finite covering along the fibers of the geodesic flow of S. In this talk I will prove that on M there is one or two equivalence orbital classes of Anosov flows. This is a joint work with S.R. Fenley.