Seminario de Álgebra y temas afines

Seminario de Álgebra y temas afines
Estructuras nearly Frobenius en algunas familias de álgebras
14/05/2018 de 13:30 a 14:30 Piso 14 del Cmat,

Hablaré sobre un trabajo conjunto con Ana González y Gustavo Mata, donde estudiamos la existencia de estructuras nearly Frobenius en las álgebras string, las de radical cuadrado cero y las álgebras toupie. Están todos invitados a venir a las 13:00 para tomar un café antes del seminario

Juegos infinitos
07/05/2018 de 01:30 a 02:30 CMat, Salón de seminarios del piso 14.,

Los juegos infinitos han servido como herramienta en varias aplicaciones en lógica, combinatoria, y otras áreas. Lo que los hace interesantes en la teoría de la computabilidad es la alta complejidad que pueden llegar a tener las estrategias para juegos relativamente simples. En esta charla, describiremos estos juegos, tal vez juguemos un poco, y explicaremos los conocimientos básicos necesarios para entender la respuesta --- dada por el autor y Richard Shore --- a la siguiente pregunta: ¿Cuánta determinación de juegos puede demostrarse sin usar objetos no numerables? Los esperamos a las 13:00 para tomar un café antes de la charla.

Funciones Booleanas inmunes a la correlación con aplicaciones a seguridad en tarjetas inteligentes.
26/04/2018 de 13:30 a 14:30 CMat, piso 14,

En 2002 AES se convirtió en standard para encriptado simétrico de datos, luego de un largo proceso de varios años de discusión liderado por el NIST. Hasta el día de hoy no se conocen ataques que se puedan considerar prácticos para quebrar este algoritmo. Sin embargo, se han presentado ataques laterales ("side channel attacks") basado en análisis del consumo energético del cómputo que hace al encriptar en tarjetas inteligentes. Para defenderse frente a estos ataques, Claude Carlet sugirió usar como filtros funciones Booleanas inmunes a la correlación de alto orden y de menor peso de Hamming. Este es un problema difícil dado que en su generalidad, dados n y k, no se conoce cual es este peso mínimo para el cual existe una función inmune a la correlación de orden k con n variables. Más específicamente es un problema que está relacionado con la conjetura de Hadamard. En 2010 Carrasco, Le Bars y Viola presentaron un novedoso punto de vista combinatorio para caracterizar todas las funciones inmunes a la correlación de orden 1 y además dieron una enumeración combinatoria de estas funciones y presentaron algoritmos eficientes de generación aleatoria uniforme de estas funciones. En 2014 Carlet nos planteó el problema de generalizar nuestros métodos para estudiar dicho problema, que hasta el día de hoy no ha podido ser resuelto en su totalidad por métodos alternativos. En esta charla presentaremos avances en el tema, donde esperamos dentro de poco tener resultados completos y que tengan un impacto importante en la comunidad de funciones Booleanas con aplicaciones a la criptografía. Es trabajo en conjunto con Jean Marie Le Bars, Octavio Pérez-Kempner y Francisco Castro. Como siempre, están invitados a tomar un café a las 13:00, antes del seminario.

Sistemas de factorización
16/04/2018 de 13:30 a 14:30 CMat, Salón de seminarios del piso 14.,

En esta charla recorremos las definiciones y algunos ejemplos de distintos tipos de sistemas de factorización en categorías (sistemas de factorización ortogonales y débiles). Varios de estos ejemplos provienen de la teoría axiomática de homotopía (categorias de modelos de Quillen). Introduciremos una noción intermedia entre las factorizaciones ortogonales y débiles de relevancia en el contexto de 2-categorías: las factorizaciones ortogonales laxas [M.M. Clementino and I. Lopez Franco, Lax factorisation systems. Adv. Math. 302 (2016)]. Los esperamos a las 13:00 para tomar un café antes del seminario

Acciones de categorías - una mirada 2-categórica
09/04/2018 de 01:30 a 02:30

En esta charla me gustaría contarles sobre mi trabajo actual. En él estudio acciones de categorías monoidales a las categorías de representaciones de álgebras y pruebo un resultado en 2-categorías que codifica tales acciones dando una condición equivalente a ellas. También introduzco la noción de (co)quasi-bimónada en una 2-categoría y defino sus respectivas 2-categorías. Las 1-celdas sobre una 0-celda fija claramente definen categorías monoidales. A ellas agrego la estructura de (co)módulos sobre la (co)mónada subyacente en la (co)quasi-bimónada - noción que introduje en un trabajo previo - y pruebo que las categorías obtenidas son monoidales. Esto corresponde al hecho de que en categorías monoidales trenzadas las categorías de (co)representaciones de una (co)quasi-bialgebra son monoidales, pero aquí lo hago en términos 2-categóricos sin tener la trenza. Estudio acciones correspondientes de estas dos categorías monoidales y comparo los resultados específicos obtenidos con el marco general del primer resultado mencionado. Ellos presentan una generalización 2-categórica de resultados conocidos en la literatura en el contexto de módulos sobre anillos conmutativos. Por último estudio lo que en mis trabajos previos denominé "módulos de Yetter-Drinfel`d en 2-categorías", cómo ellos generan una categoría monoidal y cómo ésta actua sobre la categoría de módulos relativos provenientes de la 2-categoría base. Lo que obtengo generaliza un resultado reciente formulado en categorías monoidales trenzadas. Están invitados a tomar un café a las 13:00, previo al seminario.

Teor​í​a de invariantes, m​é​todos diferenciales e integrales.
02/04/2018 de 13:30 a 14:30 Salón de seminarios del CMat, Piso 14,

Describiremos brevemente los dos grandes problemas cl​á​sicos de la teor​í​a de invariantes​. El primer ​ ​ problema fundamental (nomenclatura de Hilbert) apunta a demostrar que los invariantes son finitamente generados como álgebra y el segundo problema fundamental, que las relaciones posibles entre los invariantes son generadas por un número finito de ellas. Hilbert resolvió el segundo problema completamente y en algunos casos particulares el primero (usando los métodos diferenciales) y Hurwitz otros casos del primero (usando métodos integrales). Ambos trabajaban en Konigsberg y los resultados fueron demostrados en la última década del siglo XIX. Weyl continuó la línea de trabajo de Hurwitz (pero para algunos resultados usó métodos diferenciales) y Nagata probó en 1964 que hay contraejemplos que imposibilitan la validez general del primer teorema fundamental. En caso de tener tiempo, mostraremos dos "modernizaciones" de ambos métodos (trabajo conjunto con Rittatore). Para los métodos integrales siguiendo las ideas de Mumford (1960-70) y para los diferenciales las de Cayley y Hilbert. Nos encontramos media hora antes (a las 13:00) para tomar un café.

Productos de representaciones del grupo simétrico​ y sus versiones no conmutativas​
21/08/2017 de 13:30 a 14:30 PIso 14 CMAT,

Diversos productos y coproductos (e.g. Hadamard, Cauchy, Kronecker, inducción, interno, externo, de Solomon, de Malvenuto--Reutenauer, convolución, etc.) se han definido en los siguiente objetos: especies, repesentaciones del grupo simétrico, funciones simétricas, endomorfismos de álgebras de Hopf, ​permutaciones, etc. La introducción del producto de Heisenberg por los autores permite unificar y simplificar todos esos productos. Este producto a ser no graduado, permite una mayor flexibilidad y en sus partes homogéneas contiene los productos especiales mencionados. Trataremos de poner énfasis en algunos aspectos combinatorios divertidos que aparecen ligados a la generalización de los productos mencionados.​

Una introducción a las conjeturas de Weil ​- Problemas abiertos en teoría de números ​4​
26/06/2017 de 13:30 a 14:30 Piso 14 CMAT,

Dado un sistema de ecuaciones polinomiales sobre un cuerpo finito k, nos interesa estimar cuántas soluciones tiene con coordenadas en k, o más generalmente en todas las extensiones finitas de k. Estas cantidades aritméticas se combinan en una función generatriz análoga a la función zeta de Riemann. En línea con lo expuesto en las charlas de Gonzalo Tornaría sobre la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, se espera que ciertas propiedades analíticas de esta función reflejen información aritmética sobre el sistema de ecuaciones. Esta función zeta fue introducida, para curvas, por E. Artin en su tesis (1921), donde conjeturó algunas propiedades que debería tener; entre ellas una suerte de "hipótesis de Riemann" sobre la ubicación de sus ceros. Estas conjeturas fueron probadas por A. Weil (1949), quien las extiende a variedades de dimensión mayor. Fueron motor del desarrollo de la cohomología etale de Grothendieck (1960's), que permitió probar parte de las conjeturas. Finalmente la hipótesis de Riemann fue demostrada por Deligne (1974), lo que le valió la medalla Fields. En esta charla introduciremos la función zeta, la calcularemos en algunos ejemplos, enuncia remos las conjeturas de Weil y algunas de sus consecuencias, y explicaremos qué motivó a Weil a creer en ellas.

Problemas abiertos en teoría de números 2 (La Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer)
05/06/2017 de 13:30 a 14:30 Piso 14 CMAT,

La idea de esta serie de charlas es hablar cada semana sobre un problema fundamental en Teoría de Números. Las charlas serán más o menos independientes y completamente autocontenidas, aunque intentaré que la secuencia en su conjunto tenga una narrativa en común. La segunda charla es sobre la Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, que es uno de los 7 problemas del milenio del Instituto Clay, también conocidos como "problemas del millón (de dólares)". Siendo uno de los problemas más importantes de la geometría aritmética, es una fórmula exacta que relaciona los invariantes geométricos, aritméticos, y analíticos de una curva elíptica sobre un cuerpo global. Explicaré los invariantes que aparecen en la fórmula, y daré algunos ejemplos. Esta conjetura es una de las que ha sido verificada numéricamente en mayor escala, de hecho su formulación inicial fue producto de cálculos realizados al comienzo de los años 60 en la computadora EDSAC-2 de la Universidad de Cambridge. https://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture NOTA: esta charla es completamente independiente de la primera.

Extensiones abelianas
28/05/2018 de 13:30 a 14:30 Piso 14 del Cmat,

Las álgebras de Hopf generalizan a los grupos, luego es de esperar que tengan propiedades semejantes. Uno de los problemas clásicos de teoría de grupos es el de las extensiones. Dados dos grupos (finitos) H y K, decimos que un grupo G es una extensión de H por K, si G contiene (una copia de) H como subgrupo normal de forma tal que el cociente G/H es isomorfo a K. Lo que interesaría es, dados H y K, poder determinar todas las posibles extensiones de H por K. Este problema en general no se sabe resolver (si se pudiera, se conocerían todos los grupos finitos!), pero si el grupo K es abeliano, entonces se sabe que el conjunto de extensiones de H por K queda -a grandes rasgos- determinado por el segundo grupo de cohomología H^2(H,K). La generalización natural de este último caso, son las extensiones abelianas de álgebras de Hopf. En esta charla veremos en qué consisten, daremos una descripción cohomológica análoga a la que existe en grupos y veremos una sucesión exacta interesante. Estos son resultados de A. Masuoka de fines del milenio pasado, y estudiar una parte de esto fue el trabajo de monografía de Javier Cóppola. Si el tiempo lo permite, veré brevemente cómo usando la sucesión exacta anterior se obtiene una respuesta afirmativa a una pregunta que planteé en mi charla del año pasado. Mi idea es hacer la charla lo más elemental posible, introduciendo los temas a medida que se vayan necesitando. En particular no asumiré conocimientos de álgebra homológica (aunque espero motivarlos a su estudio). Están invitados a las 13:00 a tomar un café, antes del seminario.

Teorema de Bass-Heller-Swan controlado
31/05/2018 de 13:30 a 14:30 CMat, Salón de seminarios del piso 14.,

Sea R un anillo regular. El teorema de Bass-Heller-Swan asegura que el grupo K_{1} de R[t^{-1},t] es K_{0}(R) \oplus K_{1}(R). Veremos un enfoque de este teorema que ilustra herramientas de topología controlada utilizadas en la prueba de la conjetura de Farrell-Jones para algunos casos. Los invitamos a venir a las 13;00 para tomar un café.

Fibrados de Fell como productos semidirectos
11/06/2018 de 13:30 a 14:30 Piso 14 del Cmat,

Un fibrado de Fell sobre un grupo es una abstracción de la graduación de una C*-álgebra sobre dicho grupo. Toda C*-álgebra graduada define un fibrado de Fell. Definiremos las relaciones de equivalencia débil y fuerte entre fibrados de Fell, y mostraremos que todo fibrado de Fell es fuertemente equivalente al fibrado asociado a una acción parcial, y débilmente equivalente al fibrado asociado a una acción (global). Deduciremos de esto que las C*-álgebras asociadas a un fibrado de Fell son equivalentes Morita-Rieffel a productos cruzados globales y parciales. Este es tun rabajo conjunto con Alcides Buss y Damián Ferraro Están todos invitados a tomar un café a las 13:00

Representaciones de Galois y modularidad
22/06/2018 de 13:45 a 14:45 Piso 14 del Cmat,

El programa de Langlands predice conexiones profundas entre la geometría y las formas automorfas, que se codifican a través de funciones L y representaciones de Galois asociadas. El teorema de modularidad de curvas elípticas sobre Q es un caso importante de este programa, muy conocido por completar la demostración del "último teorema de Fermat". Recientemente ha habido algunos avances importantes en el caso de superficies abelianas sobre Q. En la primera charla haré una introducción a la teoría de representaciones de Galois y modularidad. En la segunda charla presentaré un trabajo reciente [1] en el que demostramos la (para)modularidad de algunas superficies abelianas. [1] Brumer-Pacetti-Poor-Tornaría-Voight-Yuen, On the paramodularity of typical abelian surfaces https://arxiv.org/abs/1805.10873 EL SEMINARIO SE ATRASA 15-20min para que los futboleros puedan ver el partido de Uruguay-Rusia. NO se invita con café, porque la máquina está en el service :(

Modularidad de superficies abelianas
02/07/2018 de 13:30 a 14:30 Piso 14 del Cmat,

El programa de Langlands predice conexiones profundas entre la geometría y las formas automorfas, que se codifican a través de funciones L y representaciones de Galois asociadas. El teorema de modularidad de curvas elípticas sobre Q es un caso importante de este programa, muy conocido por completar la demostración del "último teorema de Fermat". Recientemente ha habido algunos avances en el caso de superficies abelianas sobre Q. -- En esta charla voy a comenzar explicando el significado de modularidad en términos de representaciones de Galois, en el caso de curvas elípticas y en el caso de superficies abelianas. Para terminar presentaré un trabajo reciente [1] en el que demostramos la (para)modularidad de algunas superficies abelianas, mediante un algoritmo explícito para decidir si dos representaciones de Galois son equivalentes conociendo solamente sus trazas de Frobenius para una cantidad finita de primos. [1] Brumer-Pacetti-Poor-Tornaría-Voight-Yuen, On the paramodularity of typical abelian surfaces https://arxiv.org/abs/1805.10873 No se invita con café porque la máquina sigue rota