Dinámica Hamiltoniana
Organizador: Alejandro Passeggi apasseggi@cmat.edu.uy
Descripción/Temario tentativo:
El enfoque del mismo será basarse en ejemplos que vayan acompañando el formalismo simpléctico, discutiendo la importante noción de integrabilidad (y no-integrabilidad) en dim finita e infinita.
1- Introducción al formalismo: en el fondo la dinámica Hamiltoniana son ecuaciones diferenciales que vienen de ecuaciones Newtonianas para fuerzas gradientes, y por lo tanto preservan la energía mecánica. Pero más que eso, se pueden describir a partir del gradiente de la energía mecánica: no es el campo gradiente, porque de ser así esta cantidad no sería preservada en el tiempo, el campo en cuestión es lo que se conoce como el gradiente simpléctico: se elige un de los vectores"perpendiclualres" al gradiente, y así preservamos las curvas de nivel de la EM. Bueno, para estas elecciones se introduce una conjunto de formalidades, que cobra vida por y deriva en lo que se conoce como geometría simpléctica. La idea es introducir esto basándose en ejemplos (oscilado armónico, péndulo, Kepler, muchos cuerpos, cuerpo rígido, etc...).
2- Integrabilidad: Después de "resolver" el problema de Kepler: una masa grande y una chica bajo la ley de gravitación, se adoptó la idea de que era fundamental encontrar cantidades conservadas para resolver las ecuaciones Hamiltonianas.Se intuía que a partir de las mismas se pueden hacer cambios de coordenadas que simplifiquen la ecuación y luego se pueda resolver.Esta intuición resultó cierta y hoy se conoce como el teorema de Arnold-Liuville: si hay suficientes cantidades conservadas, se puede hacer un cambio de variable y lograr que la ecuación diferencial en cuestión tome una forma muy simple. Este resultado está en la base de la matemática moderna. "Integrabilidad" es tener suficientes cantidades conservadas para aplicar A-L.
3- Alguna disgreción sobre integrabilidad: mientras cantidades conservadas son funciones del espacio de fase a R, que se preservan por el flujo, un reflejo de las mismas son el grupo de las simetrías del Hamiltoniano, reflejo representado en el teorema célebre de Emmy Nöther. En este punto se da una fuerte interacción entre ecuaciones Hamiltonianas, grupos y álgebra de Lie, álgebra de Poisson, y otras cuestiones fundamentales.
4- Flujo geodésico del elipsoide: de los ejemplos Hamiltonianos que resultan integrables, como ser péndulo, Kepler, cuerpo rígido en algunos casos, algunos muestran dificultad notablemente superior ya que las cantidades en cuestión no aparecen intuitivamente. Un claro ejemplo es el flujo geodésico del elipsoide en Rn, que llevo tiempo vichando y no logro comprender. Esperemos aproximarnos.
5- Integrabilidad en EDPS: todos saben que edp es un área principal de la matemática. La idea de resolución por integrabilidad que acabamos de comentar para edo tiene su análogo en dimensión infinita, y resulta muy potente para resolver algunas ecuaciones de relevancia física como KdV o la Sine-Gordon. Además, el concepto de integrabilidad es clave en física cuántica por lo que el salto conceptual a dimensión infinita es fundamental.