XIX Encuentro Rioplatense de Álgebra y Geometría Algebraica
| Jueves 19 | Viernes 20 | Sábado 21 |
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9:00 a 10:15 Nicolás Andruskiewitsch |
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10:00 a 11:15 Nathan Ryan |
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10:30 a 11:20 Walter Ferrer |
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11:20 a 11:50 Pausa Café |
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11:30 a 12:20 Matilde Martínez |
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11:50 a 12:40 Andrés Abella |
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12:30 a 13:20 Iván Pan |
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12:40 a 14:15 Almuerzo |
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14:15 a 15:30 Nathan Ryan |
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15:00 a 16:15 Nicolás Andruskiewitsch |
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15:40 a 16:30 Mariano Suárez |
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16:30 a 17:20 Nicolás Botbol |
16:30 a 17:00 Pausa Café |
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17:00 a 17:50 Eugenia Ellis |
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17:20 a 17:50 Pausa Café |
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17:50 a 18:40 Mauricio Achigar |
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18:00 a 18:50 Gabriela Jerónimo |
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En la primera clase, se explicará con cuidado la noción de álgebra de Nichols, se mostrarán algunos ejemplos de dimensión finita y se evocarán los resultados concernientes a álgebras de Nichols sobre grupos abelianos.
En la segunda clase, se definirán las nociones de rack y de 2-cociclo sobre un rack y se explicará la conexión con álgebras de Nichols sobre grupos no abelianos. Se evocará la clasificación de los racks finitos simples. Se presentará la estrategia actual para determinar que ciertas familias de grupos no admiten álgebras de Nichols de dimensión finita-- y por ende, que no admiten álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita.
En el artículo "About finite dimensional Hopf algebras" (Contemp. Math 294, 1–57 (2002)), N. Andruskiewitsch plantea la pregunta de si un álgebra de Hopf semisimple admite alguna estructura de grupo cuántico compacto. El objetivo de esta charla es primero explicar los términos de la pregunta y luego comentar los avances que hemos hecho sobre ese problema. Este es un trabajo conjunto con W. Ferrer y M. Haim.
En [1] ([1b], [1c], [1d]) Bass da una definición de rango estable para un anillo con unidad A, denotado Bsr(A). En [2] ([2b]) Warfield generaliza este concepto para un módulo X sobre A, denotado Bsr(X). El Bsr(X) es una noción algebraica de dimensión que es similar a (generaliza) el concepto dimensión de un espacio vectorial caso que se obtiene cuando A=k es un cuerpo. Cuando A=C(T) es el álgebra de las funciones continuas sobre un espacio compacto T se tiene una fórmula que vincula Bsr(A) y la dimensión topológica de T, dimtop(T). En [3] Rieffel, y paralelamente Corach y Larotonda en [4], introduce el concepto dimensión topológica para un álgebra de Banach con unidad A, denotado tsr(A), y asimismo generaliza esta noción definiendo la dimensión topológica de un módulo de Banach X sobre A, denotado tsr(X).
En [3] se prueba que Bsr(A)≤tsr(A) para un álgebra de Banach A con unidad y que Bsr(X)≤tsr(X) para un módulo de Banach sobre A. En [5] Herman y Vaserstein prueban que Bsr(A)=tsr(A) si A es una C*-álgebra con unidad. De los estudios para mi trabajo de tésis doctoral, bajo la orientación de la Dra. Beatriz Abadie, ha surgido el siguiente resultado: Bsr(X)=tsr(X) para un módulo proyectivo y finitamente generado X sorbe una C*-álgebra A. En el camino hacia la prueba del resultado (adaptación de la prueba en [5]), ha surgido como natural dar una definición de rango estable para C*-módulos de Hilbert, inspirada ésta en el tratamiento dado por Blackadar en [6].
En la charla se pretende dar las definiciones, ver algunos ejemplos y propiedades del rango estable, enunciando los resultados importantes y demostrando los más representativos de las técnicas involucradas.
[1] Bass, H. K-theory and stable algebra, Mathématiques 22, Institut des Hautes Études Scientifiques, Paris (1964) 489-544.
[1b] Bass, H. Algebraic K-theory, Benjamin, New York (1968).
[1c] Vaserstein, L.N. Stable rank of rings and dimensionality of topological spaces,Funct. Anal. Appl. 5 (1971) 102-110.
[1d] Warfield, R.B. Jr. Cancelation of modules and groups and stable range of endomorphism rings, Pacific J. Math. 91 (1980) 457-485.
[2] Warfield, R.B. Jr, The number of generators of a module over a fully bounded ring, J. Algebra, 66 (1980) 425-447.
[2b] Warfield, R.B. Jr, Stable generation of modules, Lecture Notes in Mathematics 700, Springer, Berlin (1979) 16-33.
[3] Rieffel, A.M. Dimension and stable rank in the K-theory of C*-algebras, Proc. London Math. Soc. (3) 46 (1983) 301-333.
[4] Corach, G.; Larotonda, A.R. Stable range in Banach algebras, J. Pure Appl. Algebra 32 (1984) 289-300.
[5] Herman, H.R.; Vaserstien, L.N. The stable range of C*-algebras, Invent. Math. 77 (1984) 3 553-555.
[6] Blackadar, B. The stable rank of full corners in C*-algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004) 10 2945-2950.
Trabajo conjunto con Nicolás Andruskiewitsch
En esta charla, tratamos de responder a las siguientes preguntas. ¿Quién introdujo el concepto de álgebra de Hopf? ¿Porqué llevan este nombre?
La primera definición formal de álgebra de Hopf se debe a Pierre Cartier en 1956. Inspirado en trabajos de Dieudonne en grupos algebraicos sobre cuerpos de característica positiva, Cartier introdujo la noción de "hiperalgebra" que corresponde al concepto actual de álgebra de Hopf. El nombre "álgebra de Hopf" fue utilizado por primera vez por Borel en 1958, en referencia al trabajo fundacional de Heinz Hopf en topología algebraica.
Encontramos entonces dos fuentes diferentes que alimentan el concepto, la teoría de grupos algebraicos, y la topología algebraica. Estas dos fuentes se encuentran e interactúan al comienzo de la década de 1960.
A fines de la década de 1960, y con la publicación del libro de Sweedler "Hopf Algebras" --Benjamin 1969--, el tema cobró forma como área independiente en el seno del, y comenzó a caminar sin necesitar el apoyo de sus progenitores originales.
Nuestro análisis termina en esa epoca, en que se abre un enorme espectro de aplicaciones de la teoria de Hopf a diversas ramas de la matemática por ejemplo: combinatoria, teoría de categorías, teoría de nudos, teoría de anillos, teoría de grupos algebraicos, topología algebraica, físico matemática, etc.
La complejidad de la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias está íntimamente ligada a un invariante asociado al sistema: el índice de diferenciación. Los métodos numéricos resultan considerablemente más costosos para sistemas de índice alto que para aquéllos de índice bajo, lo que ha motivado el estudio de este invariante y el desarrollo de técnicas que permitan su reducción.
En esta charla presentaremos nuevos métodos para el tratamiento de familias de sistemas de ecuaciones diferenciales polinomiales implícitas. Introduciremos el índice de diferenciación de estos sistemas de manera puramente algebraica y describiremos un método de reducción del índice basado en técnicas de álgebra computacional.
Hablaremos de espacios foliados y de ciertas medidas que se asocian a ellos, llamadas "armónicas", que son invariantes por un semigrupo que realiza la difusión del calor. En el caso en que las hojas de la foliación considerada son localmente de la forma G/K, donde G es un grupo de Lie semisimple de tipo no compacto y K un subgrupo compacto maximal, daremos una interpretación algebraica de las medidas armónicas. Esta charla pretende ser introductoria, por lo que explicaremos el resultado principal para el caso de G=SL(2,R) antes de enunciarlo en su forma general.
Estos resultados surgen de trabajos en colaboración con Yu. Bakhtin y C. Connell.
Consideramos transformaciones elementales entre dos variedades proyectivas de dimensión 3 que consisten en componer una explosión (de curva o punto) con una contracción (sobre curva o punto). Clasificamos todas las transformaciones birracionales del espacio proyectivo de dimensión 3 que se pueden obtener como composición de a lo más 2 transformaciones elementales.
Una construcción de Paul Terwilliger asigna a un grafo distancia-regular—y más generalmente a un esquema de asociación simétrico—un álgebra asociativa de dimensión finita cuya teoría de representación puede interpretarse como el análisis armónico sobre el grafo. Se obtiene de esta forma una versión discreta del análisis armónico clásico sobre espacios homogéneos. En esta charla discutiremos la descripción de esta álgebra para los grafos que se obtienen considerando la relación de adyacencia de vértices en poliedros regulares.