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Variedades tóricas y esféricas

Sub-línea de trabajo de la línea pricipal "Grupos algebraicos de transformaciones". Participan invstigadores de Uruguay (CMAT) y Francia (Grenoble, Lyon).

Investigadores

 

Michel Brion (Grenoble), Iván Pan (CMAT), Angel Pereyra (CMAT), Nicolas Ressayre (Lyon), Alvaro Rittatore (CMAT).

 

Descripción de la línea de trabajo

 

Sistemas de raíces y  geometría tórica

Los sistemas de raíces fueron introducidos por Killing en su serie de artículos kil, en un primer intento por
clasificar las álgebras de Lie simple sobre $\mathbb{C}$. Están íntimamente asociados a los grupos de generados por reflexiones (de Coxeter), y puede a su vez ser clasificados mediante los llamados Diagramas de Dynkin. Dada la conexión entre los grupos reductivos y las álgebras de Lie semi-simples, los sistemas de raíces y sus diagramas de Dynkin asociados son una herramienta muy útil en la teoría de invariantes. Es así que dado un grupo reductivo $G$ y $T\subset G$ un toro maximal, el \emph{grupo de Weyl} $W=N_G(T)/T$ asociado, donde $N_G(T)$ es el normalizador de$T$ en $G$, es un grupo finito, generado por reflexiones. Tenemos entonces asociado a $G$ un sistema de raíces, y por lo tanto un látice de pesos. Los \emph{pesos dominantes}  son la herramienta clase para, por ejemplo, describir la teoría de representaciones de $G$. 
Por otro parte, es de mucho interés el estudio de las variedades tóricas y esféricas asociadas a la partición en cámaras de Weyl del espacio $\mathbb R^n$ (ver por ejemplo pro, conpro). En rusos  Voskresenkii y  Klyachko plantean la
construcción de una familia de variedades proyectivas de Fano, asociadas a la consideración de variedades tóricas provenientes de abanicos construidos a partir de la descomposición en  cámaras de Weyl de $R^n$ (ver por ejemplo \cite{kn:cox} para un desarrollo exhaustivo de la teoría de variedades tóricas). En dab, Dabrowski continúa el estudio de las variedades tóricas construidas, estudiantes su normalidad. Es interesante la relación entre estas variedades tóricas y la consideración de adherencias de toros en espacios homogéneos del tipo $G/P$, donde $P$ es un subgrupo parabólico de $G$, y por lo tanto la presentación de la familia en términos de propiedades del sistema de raíces asociado a $G$.
La construcción presentada en rusos es sin embargo parcial. El  trabajo de P.L. Montagard y N. Ressayre pln, relacionando los sistemas de raíces con los politopos regulares, sugiere que es  posible generalizar las construcciones mencionadas abarcando más casos: en efecto, la condición de que un politopo sea regular puede  leerse en la geoemtría de la variedad tórica asociada, que en particular será una variedad de Fano. Creemos posible combinar estas  ideas, obteniendo entonces una clasificación completa de las variedades tóricas de Fano asociadas a abanicos  construidos a partir de la descomposición en cámaras de  Weyl.  Montagard y Rittatore ya poseen resultados parciales, aún no publicados,  en esta  dirección, generalizando de modo directo los resultados de pln.

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