Secciones

Productos cruzados

Sub-línea de investigación de la línea principal "Acciones parciales degrupos y productos cruzados" Participan investigadores de Uruguay (CMAT, Reg. Norte)

Investigadores

 

Fernando Abadie (CMAT), Damián Ferraro (Reg. Norte).

 

Descripción de la línea de trabajo

 

 En las primeras d\'ecadas del siglo XX el estudio de las \'algebras centralmente simples estaba en pleno desarrollo, a trav\'es de los trabajos de Artin, Burnside, Brauer, Jacobson, Nakayama, N\oe ther, Wedderburn, etc. Uno de los t\'opicos centrales eran los productos cruzados, en particular aquellos asociados a acciones de grupos. Un producto cruzado es a una acci\'on de grupo lo que el \'algebra de grupo es a un grupo. Seguramente inspirados en los mencionados trabajos, Murray y von Neumann utilizaron un producto cruzado asociado a una acci\'on erg\'odica para construir un ejemplo de un \'algebra de von Neumann, m\'as precisamente un factor, que no fuera de tipo $I$. Esa t\'ecnica se volvi\'o est\'andar y fundamental en el estudio de las \'algebras de von Neumann. En particular fue utilizada por A.~Connes, M.~Takesaki y otros en la c\'elebre clasificaci\'on de factores de tipo $III$, y fue en esa instancia que Takesaki descubri\'o el fen\'omeno de la dualidad de productos cruzados, que describiremos brevemente m\'as adelante. Esencialmente a lo largo de los a\~nos 60 comenzaron a utilizarse y estudiarse productos cruzados en la categor\'\i a de las $C^*$-\'algebras. Paulatinamente se fue generalizando esta noci\'on con la introducci\'on de productos cruzados torcidos, $C^*$-\'algebras de fibrados de Fell y $C^*$-\'algebras de grupoides.
 Tambi\'en en la d\'ecada de los a\~nos 70 se definieron los productos cruzados por coacciones de grupos, que entre otras cosas permitieron extender la dualidad de productos cruzados para el caso de grupos no abelianos. En la d\'ecada siguiente se introdujeron los productos cruzados por acciones parciales, por parte de Exel y McClanahan (exelcircle, exeltwist y kmc), los cuales son  el tema principal de especializaci\'on de F.~Abadie y D.~Ferraro. En el campo puramente algebraico los productos cruzados por acciones parciales fueron introducidos por Dokuchaev y Exel en el a\~no 2005 MR2115083).  

Dualidad de productos cruzados  La dualidad de productos cruzados, llamada dualidad de Takesaki, fue descubierta en MR480760, takdual73, para acciones de grupos abelianos. Todo producto cruzado por un grupo abeliano carga autom\'aticamente con una acci\'on del grupo dual del grupo original, de modo que puede tomarse un segundo producto cruzado utilizando dicha acci\'on dual. Resulta ser que este doble producto cruzado es en cierto sentido equivalente al \'algebra de von Neumann de partida, de forma tal que esa equivalencia es equivariante con respecto a la acci\'on original y la acci\'on
bidual. Este hecho tiene m\'ultiples e importantes consecuencias y constituye un moj\'on fundamental en la teor\'\i a de productos cruzados. Takai dio una versi\'on de la dualidad de Takesaki para productos cruzados de $C^*$-\'algebras (takai75, landstadcovalgs77, landstadcovsysts79), que de a poco se fue acciones de grupos no abelianos (imaitakai78, kat84), donde la acci\'on dual se sustituye por una coacci\'on del grupo. Por otra parte se desarrollaron tambi\'en versiones puramente algebraicas de la dualidad de Takesaki. En efecto, los teoremas de
dualidad M.~Cohen-S.~Montgomery (cm84), D.~Quinn (quinn85) y M.~Beattie (beattiedual88) sobre
\'algebras de grupos son adaptaciones de los correspondientes resultados para \'algebras de operadores. A la postre dieron lugar a su generalizaci\'on natural para \'algebras de Hopf, conocido como el teorema de dualidad de Blattner--Montgomery~(blattmont). La teor\'\i a no est\'a desarrollada para productos cruzados por acciones parciales.
   

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