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Acciones parciales de grupos

Sub-línea de trabajo de la línea principal "Acciones parciales de grupos y productos cruzados". Participan investigadores de Uruguay (CMAT, Reg. Norte).

Investigadores

 

Fernando Abadie (CMAT), Damián Ferraro (Reg. Norte), Iván Pan (CMAT), Alvaro Rittatore (CMAT).

 

Descripción de la línea de trabajo

 

Como el dual del grupo $\Z$ de los n\'umeros enteros es el toro unidimensional,~$S^1$, en todo producto cruzado por $\Z$
existe una acci\'on natural de $S^1$.  Una cuesti\'on relevante es poder determinar cu\'ando una acci\'on de $S^1$ es una acci\'on dual, pues en caso afirmativo el \'algebra en la que dicha acci\'on ocurre debe ser un producto cruzado por $\Z$, y por lo tanto es pasible de ser descompuesta en objetos m\'as simples, y estudiada en t\'erminos de la correspondiente acci\'on de $\Z$. Fue estudiando este asunto que Exel introdujo en exelcircle los productos cruzados por automorfismos parciales, que son un caso especial de lo que posteriormente se llam\'o acci\'on parcial de $\Z$. Exel vio que, en muchos casos, una acci\'on de $S^1$ es efectivamente una acci\'on dual pero con relaci\'on a un producto cruzado un poco m\'as general que el cl\'asico: el producto cruzado por un automorfismo parcial. Pronto se percibi\'o que los automorfismos parciales eran casos particulares de lo que luego fueron llamadas acciones parciales de grupos (kmc, exeltwist). Las acciones parciales comenzaron a ser estudiadas y utilizadas para describir amplias clases de $C^*$-\'algebras, como por ejemplo las de Cuntz--Krieger (MR0467330, MR561974, MR608527), o las de Cuntz-Li, asociadas a dominios integrales con cocientes finitos (MR2732050, giulianoruy).  

Representaciones parciales As\'\i\ como las representaciones de un grupo est\'an estrechamente vinculadas a las acciones del grupo, existe para las acciones parciales la noci\'on equivalente de representaci\'on parcial. Las representaciones parciales de un grupo en un espacio de Hilbert est\'an en biyecci\'on natural con las representaciones no degeneradas de la llamada $C^*$-\'algebra parcial del grupo en el mismo espacio de Hilbert. Dicha $C^*$-\'algebra es de hecho un producto cruzado por una acci\'on parcial, y esta acci\'on parcial tiene acci\'on envolvente. Este hecho permite a posteriori dilatar toda
representaci\'on parcial a una representaci\'on unitaria (faenv,falm). Pero hay representaciones parciales que no son sobre espacios de Hilbert, y a las que por tanto no se puede aplicar el teorema de dilataci\'on referido. Entre ellos est\'an por ejemplo los llamados grupos de interacciones. En fadig, Abadie mostr\'o que ciertos grupos de interacciones se pueden dilatar a acciones. Traducido en t\'erminos de operadores, eso dice que ciertas representaciones parciales en $C^*$-\'algebras se pueden dilatar a representaciones por automorfismos en $C^*$-\'algebras. No est\'a claro hasta qu\'e punto este \'ultimo resultado est\'a ligado a que las representaciones en cuesti\'on conformen adem\'as un grupo de interacciones. En cualquier caso el m\'etodo de dilataci\'on es diferente al del caso de representaciones parciales en espacios de
Hilbert, y hace uso de la estructura de $C^*$-\'algebra presente. Independientemente de ello no parece descabellado esperar
que, en realidad, bajo condiciones muy generales, cualquier representaci\'on parcial de un grupo en un m\'odulo tenga
una dilataci\'on por operadores invertibles, tal vez no \'unica. A\'un si siempre fuera posible dilatar cualquier representaci\'on parcial, ser\'\i a importante encontrar un proceso de dilataci\'on que fuera functorial. Este es uno de los aspectos que nos interesar\'a estudiar en el mediano plazo. 

Acciones envolventes  Una manera simple de obtener una acci\'on parcial consiste en restringir una acci\'on global a un ideal; en tal caso se dice que la acci\'on es globalizable. En faenv, F.~Abadie consider\'o la cuesti\'on de cu\'ando una acci\'on parcial es globalizable, y dio una condici\'on necesaria y suficiente para que una acci\'on parcial en una $C^*$-\'algebra conmutativa lo sea (muy recientemente D.~Ferraro encontr\'o una condici\'on necesaria y suficiente para acciones parciales arbitrarias, df2). Abadie llam\'o acci\'on envolvente de una acci\'on parcial a toda globalizaci\'on que fuera minimal en cierto sentido natural, y prob\'o que, de existir, la acci\'on envolvente es \'unica. Tambi\'en prob\'o (faenv, falm) que si una acci\'on parcial tiene acci\'on envolvente, entonces los productos cruzados son equivalentes Morita, lo
cual permite reducir el estudio de los productos cruzados parciales a los productos cruzados por acciones globales, que tienen una teor\'\i a muy bien desarrollada. Un ejemplo bien ilustrativo de este proceso es el trabajo de D.~Ferraro en df, que resume su tesis de maestr\'\i a orientada por Abadie.

Acciones envolventes a menos de equivalencia Morita Es muy f\'acil dar ejemplos de acciones parciales en $C^*$-\'algebras que no admitan acciones envolventes en esta categor\'\i a. Sin embargo, siempre habr\'a acci\'on envolvente si se considera esta noci\'on en un sentido m\'as d\'ebil. En faenv Abadie introdujo tambi\'en el concepto de acci\'on envolvente a menos de equivalencia Morita, que precisamente cumple ese papel. De hecho prueb\'o que toda acci\'on
parcial tiene una tal acci\'on envolvente d\'ebil, y que \'esta es \'unica a menos de equivalencia Morita; y adem\'as los
correspondientes productos cruzados son equivalentes Morita (faenv, falm). Tal vez lo m\'as sorprendente acerca de esta noci\'on sea su relaci\'on con la dualidad. De hecho Abadie descubre la forma de la dualidad de Takai para productos
cruzados por acciones parciales a trav\'es de su trabajo en torno a las acciones Morita envolventes. (faenv).   

Se presentan entonces unas cuantas preguntas en torno a las acciones envolventes y las envolventes a menos de equivalencia Morita. Una de ellas, de car\'acter en principio exploratorio, se refiere al caso de acciones parciales en variedades algebraicas, que no han sido consideradas hasta el momento pero que a priori parecen tener tanto inter\'es como las ya consideradas en otras categor\'\i as. Por ejemplo, ser\'\i a interesante caracterizar aquellas acciones parciales que tienen acci\'on envolvente actuando tambi\'en en una variedad algebraica; y en el caso de las acciones parciales cuyo espacio envolvente no sea una variedad algebraica, parece de sumo inter\'es determinar qu\'e clase de objeto es dicho espacio envolvente y qu\'e informaci\'on es capaz de proveer. Otra pregunta a considerar es acerca de acciones parciales torcidas. No ha habido ning\'un avance al respecto. Ni siquiera est\'a del todo claro qu\'e es lo que habr\'\i a que entender por acci\'on envolvente en este caso. Sin embargo, dado que un producto cruzado por una acci\'on parcial torcida se puede expresar en t\'erminos de un \'algebra graduada sobre el grupo, algunos de los resultados de faenv permiten llevar adelante hasta cierto punto la construcci\'on de lo que uno esperar\'\i a que fuera una acci\'on envolvente a menos de equivalencia Morita. De poder sortear las importantes dificultades t\'ecnicas que parece evidente aparecer\'an en ese proceso, es posible que se pueda obtener un avance significativo en esta cuesti\'on.  

Dualidad En ades se trat\'o por primera vez la cuesti\'on de la globalizaci\'on de una acci\'on parcial a menos de equivalencia Morita en un contexto puramente algebraico. Sin embargo, a diferencia de lo hecho originalmente en faenv para \'algebras de operadores, en este caso no se vincul\'o esta cuesti\'on con la de la dualidad para productos cruzados. Estamos convencidos que, del mismo modo que en faenv, estos dos asuntos est\'an estrechamente emparentados
tambi\'en en este contexto. As\'\i\  como la dualidad de Takesaki inspir\'o los teoremas de dualidad algebraicos presentes en
cm84, quinn85, beattiedual88, beattiesmash88, pensamos que la globalizaci\'on realizada en ades tiene como trasfondo alg\'un resultado relacionado con estos. M\'as a\'un, en el campo algebraico se han considerado acciones parciales de grupoides (MR2659733, MR2982887), ya no de grupos, y tenemos la impresi\'on de que a\'un en este contexto bastante m\'as general es posible establecer cierto tipo de dualidad. Es nuestro principal objetivo trabajar en estas ideas, intentando avanzar primero en el caso de acciones parciales de grupos, y de tener \'exito pasar entonces al caso de grupoides.  

 Acciones parciales en contextos puramente algebraicos En MR2115083 se consider\' o por primera vez la cuesti\'on de la globalizaci\'on de acciones parciales en un contexto puramente algebraico, y los autores consiguieron obtener versiones para \'algebras sobre anillos conmutativos de algunos de los resultados establecidos por Abadie para acciones envolventes y sus productos cruzados. Desde entonces diversos autores han estado extendiendo estos y otros resultados de faenv (ver por ejemplo MR2608399, MR2450727, MR2255280, MR2799089, MR2730285, MR2640384, MR2581923, MR2659733, MR2982887), profundizando la teor\'\i a en construcci\'on, o aplic\'andola en otras ramas del \'Algebra. Puede consultarse MR2799098 o MR2583196 para tener un panorama general de la evoluci\'on de estas investigaciones y su estado actual aproximado.
\par A pesar de estos numerosos estudios acerca de las globalizaciones en categor\'\i as algebraicas, ninguno de ellos hab\'\i a abordado lo que parece un aporte fundamental del trabajo de Abadie en este tema en el contexto de las \'algebras de operadores, a saber, la noci\'on de acci\'on envolvente a menos de equivalencia Morita y su relaci\'on con la teor\'\i a de dualidad de productos cruzados. Es probable que eso se deba al hecho de que dicha cuesti\'on tiene su relevancia
principalmente para anillos sin unidad, cuya teor\'\i a est\'a menos desarrollada y es t\'ecnicamente m\'as complicada que la de  anillos con unidad. Por ejemplo, la habitual teor\'\i a de equivalencia de Morita de anillos con unidad no se puede aplicar en este caso, y hay que acudir por ejemplo a aqu\'ella desarrollada en MR1140639. A diferencia de lo que ocurre con las \'algebras de operadores, que se comportan como si tuvieran unidad, abordar este asunto implica, entre otras cosas, determinar una clase razonablemente general de anillos sin unidad para los cuales puedan presumiblemente valer resultados an\'alogos a los de faenv. En ades, Abadie, Dokuchaev, Exel y Sim\'on proponen una tal clase, y demuestran que para una acci\'on parcial en un elemento de esta clase siempre existe una acci\'on envolvente a menos de equivalencia Morita, \'unica bajo esta noci\'on de equivalencia. Adem\'as los correspondientes productos cruzados tambi\'en son equivalentes. La posible relaci\'on de estos hechos con la existencia de una dualidad no fue esclarecida en este trabajo.         

Acciones parciales y grupoides Actualmente parece bastante claro que la codificaci\'on de simetr\'\ias de un espacio est\'a mejor representada por un grupoide que por un grupo, en el sentido de que el grupoide permite incluir simetr\'\i as locales. En ese sentido una acci\'on parcial de un grupo aparece como un objeto intermedio: los automorfismos parciales dan cuenta de
simetr\'\i as locales, aunque existe todav\'\i a un grupo subyacente a todos ellos. De hecho, en caso de que un grupo act\'ue parcialmente en un espacio topol\'ogico, Abadie mostr\'o en fapag que existe un grupoide, naturalmente asociado al grupo de transformaciones parciales, cuya \'algebra seccional coincide con el producto cruzado parcial (ver tambi\'en el trabajo de Abadie en fapmu). 

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