Taller de Representaciones y áreas afínes

"Álgebras de Hopf y Representaciones"
Mariana Haim
Sea $A$ una $k$-álgebra. El producto tensorial $M \otimes_k N$ de $A$-módulos no es en general un $A$-módulo. Que lo sea está fuertemente vinculado con la existencia de un mapa lineal $\Delta:A \rightarrow A\otimes A$ que verifique $\Delta(ab)=\Delta(a)\Delta(b)$. Siguiendo esta línea, mostraremos cómo se refleja una estructura tensorial rígida en la categoría de $A$-módulos sobre una estructura de álgebra de Hopf en $A$ (concepto que iremos definiendo a lo largo de la charla).
"Módulos simples sobre grupos cuánticos restringidos de dos parámetros"
Mariana Pereira
En el 2003, David Radford introdujo un nuevo método para construir módulos simples sobre el doble de Drinfel'd de ciertas álgebras de Hopf graduadas de dimensión finita. Dada un álgebra de Hopf $H$, Radford estableció una correspondencia entre las clases de isomorphismos de módulos simples sobre el doble de Drinfel'd, $D(H)$ y los elementos de tipo grupo de $D(H)$. El grupo cuántico restringido de dos parámetros, $\mathfrak{u}_{r,s} (\mathfrak{sl}_n)$, es un doble de Drinfel'd bajo ciertas condiciones en los parámetros $r$ y $s$. Utilizamos el método de Radford y el programa de álgebra computacional {\sc Singular::Plural} para construir los módulos simples sobre $\mathfrak{u}_{r,s} (\mathfrak{sl}_3)$ para diferentes valores de $r$ y $s$.
"Contravariantly finite subcategories, generalised tilting modules and trisections of the module category"
Sonia Trepode (con I. Assem y F. Coelho)
In this talk we study subcategories of mod A closed under predecessors. We show that a subcategory C of mod A closed under predecessors is contravariantly finite if and only if there exists a generalised tilting module T such that C is the left orthogonal of T. We show that T is the direct sum of E plus F, where E is the direct sum of the indecomposable Ext-injective objects of C, and F is the direct sum of the indecomposable projective modules that not belong to C.
"Auslander-Reiten components with sectional bypasses"
Claudia Chaio (con Edson Alvares y Sonia Trepode)
En este trabajo estudiamos la existencia de un desvío de una flecha en las componentes del carcaj de Auslander-Reiten de un álgebra de artin. Decimos que existe un desvío de una flecha de i a j, si existe un camino paralelo a la flecha $i\rightarrow i_{1}\rightarrow ...\rightarrow i_{n-1}\rightarrow j$ de longitud mayor que uno, con $i ≠ i_{n-1}$ y $i_1 ≠ j.$ La noción de desvío de una flecha, ya había sido considerada por Crawley-Boevy, Happel y Ringel en 1987. Ellos probaron que si existe un desvío de una flecha en una componente que no posee ciclos orientados entonces el desvío es seccional. Estamos interesados en saber en cuáles componentes del carcaj de Auslander-Reiten se encuentran estos desvíos. Obtuvimos el siguiente resultado: Si una componente del carcaj de Auslander-Reiten contiene un desvío seccional de una flecha entonces dicho desvío se encuentra sobre una sección de una componente conexa infinita, de la parte estable a izquierda o estable a derecha de la componente dada. Aplicamos los resultados obtenidos a álgebras inclinadas, shod, débilmente shod y lauras.
"Grupos de Grothendieck de álgebras estándarmente estratificadas"
Paula Cadavid
Definimos el grupo de Grothendieck para un sistema estratificante y mostramos que el determinante de la matriz de Cartan de una álgebra estándarmente estratificada es positivo. Como consecuencia de este hecho obtenemos una prueba alternativa de que una álgebra estándarmente estratificada es quasi-hereditaria si y solamenete si tiene dimensión global finita.
"Caracterización combinatoria del segundo grupo de homología de álgebras monomiales"
Eduardo Marcos (con E. Green y M. Saorín)
En esta palestra daremos una caracterización del segundo combinatoria del segundo grupo de homología de álgebras monomiales y del primero para álgebras 2-nomiales.
"Cluster algebras and cluster categories"
Ralf Schiffler
Cluster algebras were introduced by Fomin and Zelevinsky in 2002 and were originally designed to provide an algebraic framework for the canonical bases in semisimple algebraic groups. Today, the theory of cluster algebras is connected to many different fields of mathematics: generalized associahedra, Poisson geometry, Teichmüller theory, integrable systems and representations of finite dimensional algebras. We will focus mostly on the connection to finite dimensional algebras which is realized by the introduction of the cluster category. Cluster categories are triangulated categories that reflect the combinatorics of the cluster algebras on the one hand and, on the other hand, give rise to a new family of finite dimensional algebras, the cluster-tilted algebras. This series of lectures is divided into three talks: 1. An introduction to cluster algebras; 2. Cluster categories; 3. Geometric realization of cluster categories.
"On the finitistic dimension for srtatyfying systems"
Francois Huard (con M. Lanzilotta y O. Mendoza)
We show that if a srtatyfying system $(\theta,\leq)$ has at most two relative simples of infinite projective dimension, then the class of modules filtered by $\theta$ has finite finitistic dimension.
"Equivalencia homotópica entre ciertos posets mirados como espacios topológicos"
María Andrea Gatica (con Andrea Alejandra Rey, Mariano Suárez Álvarez)
En esta comunicación se definirá el concepto de corona débil, introducido por Assem -Platzeck -Redondo -Trepode, y se probará la existencia de una equivalencia homotópica débil entre una corona débil y una corona, a partir de una topología dada para posets. De esta forma quedarán determinados los grupos de homotopía, homología y cohomología de la realización geométrica del complejo simplicial asociado a las coronas débiles vía la realización geométrica del complejo simplicial asociado a las coronas.
"Algèbres de corde de type laura et conjecture de Skowroński"
Julie Dionne
"Algèbres inclinées amassées"
Ibrahim Assem
Les algèbres inclinées amassées ont été définies il y a environ 3 ans par Buan, Marsh et Reiten et depuis, ont été extensivement étudiées. Le but de ce mini-cours est d'exposer leurs définition et propriétés principales. Les sujets suivants seront abordés: 1. Définition et construction d'exemples; 2. La catégorie de modules sur une algèbre inclinée amassée; 3. Les propriétés homologiques d'une algèbre inclinée amassée; 4. Les mutations; 5. Les extensions par relations; 6. Le carquois lié d'une algèbre inclinée amassée; 7. Les tranches d'une algèbre inclinée amassée.
"O radical de morfismos na categoria de módulos"
Flávio Coelho

Resúmenes