Cronograma

Clase 1, martes 15 de marzo. Introducción, métodos de aprobación del curso y de exoneración del práctico. Espacios de Banach, subespacios, cocientes, operadores acotados, ejemplos.

Clase 2, jueves 17 de marzo.  El espacio B(X,Y); más sobre cocientes; ejemplos.

Clase 3, martes 22 de marzo.  Normas equivalentes, espacios normados de dimensión finita.

Clase 4, jueves 24 de marzo. Si Y es un espacio de Banach, entonces B(X,Y) también lo es. Espacios duales, ejemplos. Construcciones con espacios normados. Completaciones.

Clase 5, martes 29 de marzo. Teoremas fundamentales: de la aplicación abierta, del gráfico cerrado, de acotación uniforme, de Banach-Steinhaus. Ejemplos

Clase 6, jueves 31 de marzo. Ejemplos de aplicación de los teoremas fundamentales. 

Clase 7, martes 5 de abril. Espacios de Hilbert: semi-productos internos, desigualdad de Cauchy-Schwarz, espacios de Hilbert. Identidades de polarización y completaciones de espacios pre Hilbertianos.  Ortogonalidad. Identidad del paralelogramo. Puntos minimizantes en conjuntos convexos y cerrados de espacios de Hilbert. Ejemplos de conjuntos convexos y cerrados en espacios que no son de Hilbert, que tienen infinitos o ningún punto de norma mínima. 

Clase 8, jueves 7 de abril. Proyecciones ortogonales, subespacios ortogonales. Conjuntos ortonormales y bases. Desigualdad de Bessel.

Clase 9, martes 12 de abril. Caracterizaciones de las bases ortonormales. Identidad de Parseval. Dimensión. Isomorfismos. Transformada de Fourier abstracta. Espacios de Hilbert separables.

Clase 10, jueves 14 de abril.  Aplicaciones: series de Fourier. Funcionales lineales y el teorema de representación de Riesz.

Clase 11, martes 26 de abril. Operadores en espacios de Hilbert. Adjuntos. Operadores unitarios, autoadjuntos, positivos, proyecciones ortogonales, normales.  Ejemplos: el operador de Volterra, el shift unilateral, operadores integrales, etc.

Clase 12, jueves 28 de abril. Operadores autoadjuntos, unitarios, positivos, normales; proyecciones; isometrías.

Clase 13, martes 3 de mayo. Distintas caracterizaciones de las proyecciones. Operadores compactos entre espacios de Banach. Ejemplos y primeras propiedades. Operadores de rango finito.

Clase 14, jueves 5 de mayo. Espacios métricos totalmente acotados. Un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado. El espacio de operadores compactos es de Banach y contiene al de los operadores de rango finito. El espacio de operadores de rango finito entre espacios de Hilbert es denso en el de operadores compactos.

Clase 15, martes 10 de mayo. Operadores compactos entre espacios de Hilbert. Un operador es compacto si y sólo si lo es su adjunto. Valores propios y subespacios propios. 

Clase 16, jueves 12 de mayo. El teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos.        

Clase 17, martes 17 de mayo. Observaciones sobre el teorema espectral. Operadores diagonalizables. Diagonalización simultánea de operadores autoadjuntos. El teorema espectral para operadores normales.

Clase 18, jueves 19 de mayo. Cálculo funcional continuo. Aplicaciones: raíces cuadradas, descomposición polar. Estructura de los operadores compactos entre espacios de Hilbert. 

Clase 19, martes 24 de mayo. Espacios vectoriales topológicos. Ejemplos: espacios seminormados, espacios de funciones continuas, diferenciables, holomorfas, de Schwartz, etc. Traslaciones y homotecias son homeomorfismos. Bases locales. Algunos tipos de EVT. Primeras propiedades: si  K y C son disjuntos, con K compacto y C cerrado, entonces existe un entorno simétrico V de 0 tal que K+V y C+V son disjuntos. Consecuencias.

Clase 20, jueves 26 de mayo. Conjuntos equilibrados. Todo EVT tiene una base local equilibrada. Todo EVTLC tiene una base local equilibrada y convexa. Todo subconjunto compacto es acotado. Espacios polinormados. Topologías iniciales. Topología definida por una familia de seminormas.

Clase 21, martes 31 de mayo. Convergencia en un espacio polinormado. Ejemplos.  Funcionales de Minkowski de conjuntos absorbentes.

Clase 22, jueves 2 de junio.  Funcionales de Minkowski conjuntos absorbentes, equilibrados y convexos. Un espacio es localmente convexo si y sólo si puede ser polinormado.  Espacios seminormables.

Clase 23, martes 7 de junio.  Ejemplos. Seminormas acompañantes. Familias equivalentes de seminormas. Teoremas de extensión de Hahn-Banach.

Clase 24, jueves 9 de junio. Observaciones y ejemplos sobre el teorema de extensión de Hahn-Banach. Teorema de separación de Hahn-Banach.

Clase 25, martes 14 de junio.  Corolarios. En un espacio localmente convexo los conjuntos convexos y cerrados coinciden con las intersecciones de semiespacios cerrados. El dual de un espacio localmente convexo de Hausdorff separa los puntos del espacio. Un ejemplo de un F-espacio con dual nulo.  

Acciones

Clase 26, jueves 16 de junio.  Topologías inducidas por subespacios del espacio dual algebraico.Topologías débiles.

Clase 27, martes 21 de junio.  Teorema de Alaoglu. La bola del dual de un espacio normado separable munida de la topología débil *, es metrizable. Conjuntos y puntos extremales. Puntos extremales del conjunto de medidas de probabilidad.

Acciones

Clase 28, jueves 23 de junio.  Teorema de Krein-Milman. Aplicaciones. La bola unidad cerrada del dual de un espacio normado es la clausura débil * de la envolvente convexa de sus puntos extremales. C_0(R) no es un espacio dual.

Clase 29, martes 28 de junio.  Espacios y operadores duales. Espacios reflexivos.

Acciones

Acciones

Acciones

Acciones