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Cronograma

Cronograma del curso de Álgebra Lineal II

Semana 1 (15-19 de agosto)

Subespacios invariantes de operadores. Reticulado de subespacios invariantes. Semejanza de matrices. La semejanza de matrices es una relación de equivalencia. Matrices y transformaciones diagonalizables. Valores y vectores propios. Un operador es diagonalizable sii existe una base formada por sus vectores propios. Polinomio característico, ecuación característica. Vectores propios asociados a valores propios diferentes son linealmente independientes. Si dim V=n, hay a lo sumo n valores propios diferentes; si hay exactamente n valores propios, entonces el operador es diagonalizable. Subespacios propios; multiplicidad geométrica de un valor propio.  

 

Semana 2 (22-26 de agosto)

Un operador es diagonalizable sii su polinomio característico se descompone completamente y coinciden las multiplicidades geométrica y algebraica de cada uno de sus valores propios. Descomposición espectral de un operador diagonalizable. Aplicaciones: sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes; límite de las potencias de una matriz diagonalizabe; aplicaciones de matrices estocásticas.


Semana 3 (29 de agosto - 2 de setiembre)

Álgebras. Álgebras de matrices y álgebras de operadores. Álgebras de polinomios. Funciones polinomiales. Grado de un polinomio. Algoritmo de división. Raíces. Ideales. Máximo común divisor de una familia de polinomios. Polinomios primos entre sí; factorización en polinomios irreducibles. Cuerpos algebraicamente cerrados.   


Semana 4 (5 - 9 de setiembre)

Subespacios cíclicos: el subespacio invariante generado por un vector. Ideal y polinomio mínimo m_T,v asociados a un operador T y un vector v.  Ideal y polinomio mínimo m_T asociados a un operador T . Vectores cíclicos. Si T tiene un vector cíclico v, entonces m_T,v coincide con el polinomio mínimo de T, y también con el polinomio característico de T, a menos del signo. El polinomio mínimo y el característico de una restricción a un subespacio invariante dividen respectivamente al polinomio mínimo y característico del operador. Teorema de Cayley-Hamilton. El polinomio mínimo y el polinomio característico de un operador tienen las mismas raíces. Teorema: T es diagonalizable sii su polinomio mínimo es producto de  factores lineales diferentes dos a dos. Teorema de la descomposición prima. 

Semana 5 (12 - 16 de setiembre)

Aplicación: ecuaciones lineales de orden n de coeficientes constantes. Operadores nilpotentes. Descomposición de un operador en sus partes diagonalizable y nilpotente.  Triangularización. Cadenas de subespacios. Lema: si m_T se descompone completamente y W es T-invariante y diferente de V, entonces existe v fuera de W tal que T − λv ∈ W, para algún λ ∈ σ(T). Teorema: T es triangularizable sii su polinomio mínimo se factoriza completamente. Corolario: toda matriz con coeficientes en un cuerpo algebraicamente cerrado es semejante a una matriz triangular.

Semana 6 (19 - 23 de setiembre)

Forma canónica de Jordan. Cálculo de formas de Jordan: diagrama de puntos.

Semana 7 (26 - 30 de setiembre)

Forma canónica de Jordan real. Ejemplo: ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes.

Semana 8 (3 - 7 de octubre)

Primer parcial.

Espacios con producto interno. Mapas sesquilineales, mapas sesquilineales simétricos. Identidades de polarización. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Normas. Norma inducida por un producto interno. Ley del paralelogramo. Subespacio ortogonal a un conjunto. Conjuntos ortogonales y conjuntos ortonormales.  Teorema de Pitágoras.

Semana 9 (10 - 14 de octubre)

Proyecciones ortogonales. Propiedad minimizante de la proyección ortogonal. Desigualdad de Bessel. Proceso de ortonormalización de Gram Schmidt. Existencia de bases ortonormales. Identidades de Parseval. Si W es un subespacio de dimensión finita de V, entonces V es la suma directa de W y W^\perp. Mínimos cuadrados.

Semana 10 (17 - 21 de octubre)

Lema de Riesz. (Anti)-isomorfismo entre un espacio con producto interno y su espacio dual. Adjunto de un operador. Propiedades de la adjunción. La adjunción a nivel matricial. Clases de operadores: autoadjuntos, positivos, unitarios, normales.  Espectros de los operadores autoadjuntos, positivos, unitarios. Isomorfismos entre espacios con producto interno. El grupo unitario.


Semana 11 (24 - 28 de octubre)

El teorema espectral. Proyecciones espectrales. Cálculo funcional. Descomposición polar.

Semana 12 (31 de octubre  -  4 de noviembre)

Matrices hermitianas, matrices unitarias. Matrices simétrica y matrices ortogonales. Versión matricial del teorema espectral. Valores singulares. Descomposición en valores singulares, versiones para operadores y para matrices.

Semana 13 (7 - 11 de noviembre)

Aplicaciones multilineales. Formas bilineales. Matriz asociada a una forma bilineal fijadas un par de bases. Isomorfismos entre espacios de formas bilineales y espacios de matrices.  Cambios de base. Congruencia de matrices. Dos matrices son congruentes si y sólo si representan a la misma forma bilineal. Formas bilineales simétricas y formas cuadráticas asociadas. Polinomios homogéneos de grado 2.

Existencia de bases ortogonales. Radical de una forma bilineal. Formas no degeneradas.

Semana 14 (14 - 18 de noviembre)

 Formas no degeneradas. Matrices elementales. Cálculo de rangos. Diagonalización de una forma bilineal simétrica. Formas bilineales simétricas reales. Métodos de clasificación. Ley de inercia de Sylvester.

Semana 15 (21 - 25 de noviembre)

Grupo de una forma bilineal. Espacio de Minkowski. Segundo parcial.                         

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