Clase de consulta
Martes 5/8, 10:00 - 11:30 hs. Voy a estar en el piso 16, Juan Pablo Lago.
Examen 14/07
Quienes aprobaron el práctico y se les tomará examen oral son:
-Daniela Castillo
-Joaquín Chadicor
-Gabriel Gutierrez
-Cecilia Mezzera
-Bruno Stonek
El oral se tomará mañana martes a las 9:00 hs en el primer piso.
Quienes no hayan aprobado y quieran ver el examen práctico pueden venir mañana a las 11:00.
Clase de consulta
Viernes 11/7, 10-11:30. Voy a estar en el piso 16. Juan Pablo Lago.
Clase de Consulta
Habrá clase de consulta el miercoles 9 a las 13hrs.
Pablo
Clases de consulta
Habra clases de consulta la semana proxima los dias martes 8 y jueves 10 de 9 a 11. Estas consultas seran en algun salon de facultad --piso 1 o 2--
Walter
Material que ser'a parte de las preguntas posibles en el examen oral.
Se preguntar'a en el examen sobre todos los temas dictados en clase.
Hay algunos pocos teoremas que dej'e sin demostracion. Obviamente esas demostraciones no ser'an preguntadas. Hay muchos resultados que dej'e para que los estudiantes complentaran las demostraciones, esos podr'ian ser preguntados.
A partir de la clase del 21 de abril, se describi'o en esta cartelera el contenido de cada clase te'orica. Esa es la mejor guia para saber que temas estudiar. Por supuesto si estudian mas cosas mejor.
Suerte.
Walter
Clase de consulta.
El viernes 4 de 10:00 a 11:30 voy a estar en el piso 16 disponible para consultas. Juan Pablo Lago.
Muestra de parciales.
La muestra del segundo parcial será el Miércoles 2 de Julio a las 11:00 horas.
Clases de Consulta
El profesor de práctico Pablo Lessa, estará disponible para consultas este jueves a las 14hrs en el piso 15 de la facultad de ciencias.
Clase del 30 de junio --recuperacion-- y ultima clase del curso.
Se probo que la solucion general de la ecuacion lineal de primer orden no homogenea es la suma de la
solucion general de la misma ecuacion homogenea mas una solucion particular de la no homogenea.
Se mostro como el "metodo de variacion de constantes" permite calcular una solucion particular de la ecuacion no homogenea.
Se hicieron ejemplos.
Se estudiaron las ecuaciones diferenciales de variables separables --de la forma y'=P(x)Q(y)-- y se mostro como encontrar una solucion de ellas mediante integrales --clasicamente llamado metodo de las cuadraturas--
Aprobacion de curso
Gonzalo de Polsi aprobo el curso de Calculo Diferencial e Integral 1.
Clase del viernes 27
Se suspende la clase del viernes 27 a causa del paro del PIT CNT al cual la Asociacion de Docentes de la UdelaR adhiere.
Esta clase se dictar'a el lunes siguiente a la misma hora. Ser'a la 'ultima clase del curso.
Clase del miercoles 24
Se consideraron ecuaciones diferenciales y se enunci'o e teorema de existencia y unicidad
de una soluci'on local dada una cierta condici'on inicial.
Se comenz'o el estudio de la ecuaci'on lineal de primer orden y se resolvi'o totalmente la ecuaci'on homog'enea.
Aprobacion del curso. Sigue lista de quienes aprobaron el curso.
Rodolfo Sebastian Agorio
Pablo Amorin
Javier Berneche
Nicolas Boullosa
Daniella Castillo
Ana Cortazzo
Pablo De Grossi
Gonzalo De Polsi
Magali Fernandez
Mariana Ferreira
Juan Galvan
Diego Gonzalez
Gabriel Gutierrez
Manuel Laborde
Maria Lavanca
Nicolas Lois
Victoria Lorenzo
Santiago Martinchich
Cecilia Mezzera
Marcos Prolo
Eugenia Roman
Lucia Ruggia
Jose Sanchez
Valeria Schaffel
Bruno Stonek
Valentin Davoine
Practico 12
Esta en la web el practico 12
Clase de práctico del lunes 23/6.
Se suspende la clase de práctico del lunes 23/6 a las 10:00 hs. Se recuperará en la semana.
Juan Pablo Lago.
Clase del 18 de junio
Se probo el criterio M de Weierstrass. Se caracterizo la convergencia uniforme en terminos de la norma del supremo. Se dieron ejemplos de convergencia uniforme de sucesiones de funciones cuyas derivadas no convergen. Se consideraron series de potencias. Se definio el radio de convergencia y se dieron ejemplos. Con esto se termina el tema de la convergencia uniforme.
Práctico 11
Está subido el práctico 11.
Clase del 16 de junio
Se consideraron sucesiones de funciones reales. Se definio la convergencia puntual y la uniforme. Se dieron contraejemplos para mostrar que el limite puntual no se comporta bien con respecto a la continuidad a la derivabilidad y a la integrabilidad. Se demostro que el limite uniforme de funciones continuas es continua y que la integral de Riemann de una sucesion de funciones que converge uniformemente converge a la integral del limite.
Clase del 13 de junio
Se considero el n-esimo polinomio de Taylor y el correspondiente resto. Se escribe asi
f=P_n + E_n
Se probaron las formulas de Lagrange y la formula integral para el resto. Se encontraron algunas cotas
para el resto.
Se uso el desarrollo de Taylor para calcular l'imites indeterminados y para probar la "regla de l'Hopital". Se mostr'o que la regla de l'Hopital es circular pues calcula l'imites indeterminados del tipo cero sobre cero usando derivadas que son exactamente limites indeterminados del tipo cero sobre cero. Se ilustr'o eso con el caso de sen x/x que si se le aplica l'Hopital el limite cuando x tiende a cero es el limite de
cosx/1 que es uno. Pero eso implica saber calcular la derivada de sen x en cero. La derivada del sen x en cero es exactamente el lim sen x/x cuando x tiende a cero.
Clase del 11 de junio.
En esta clase se prob'o que la uni'on numerable de conjuntos de medida nula en R es un conjunto de medida nula en R. Asi se complet'o la demostraci'on del teorema de integrabilidad a la Riemann.
Se comenz'o con la demostraci'on del desarrollo de Taylor de una funci'on con suficientes derivadas. Se demostraron para ello los as'i llamados teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. Se comenz'o con el teorema de aproximaci'on de Taylor.
Segundo parcial. Dia 23 de junio. Hora 11.30. Sal'on de te'orico.
El material cubierto por el parcial incluye hasta el pr'actico 10. Excluye sin embargo el 9.
Es necesario para aprobar el curso tener al menos el 10% de los puntos totales de este parcial. Tambien es necesario para aprobar el curso tener al menos el 50% de la suma de los puntos de los dos parciales.
Prácticos 9 y 10.
Están colgados los prácticos 9 y 10. El 9 no es obligatorio para aprobar el curso.
Clase del lunes 9
Se termino de demostrar que una funcion acotada es integrable Riemann si y solo si el conjunto de sus puntos de discontinuidad tiene medida nula.
Clase del viernes 6 de junio
Se consideraron integrales de funciones no acotadas en intervalos acotados. Se llaman a veces "integrales impropias de segunda especie". Se dieron ejemplos y se mostro como estas integrales se reducen --mediante un cambio de variables-- a integrales en intervalos infinitos --de primera especie--.
De ahi se deducen los correspondientes criterios de comparacion etc.
Luego se comenzo con el teorema "de Riemann".
Una funcion acotada definida en un intervalo finito es integrable Riemann si y solo si el conjunto de sus puntos de discontinuidad tiene medida nula".
Para eso se definio conjunto de medida nula y se probo que los conjuntos numerables tienen medida nula. Se comenzo la demostracion del teorema: si el conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida nula entonces la funci'on es integrable Riemann.
Clase del 4 de junio 2008
Se probaron los criterios de comparaci'on para estudiar la convergencia integrales de funciones positivas en intervalos infinitos. Se prob'o el criterio integral para la convergencia de una serie de t'erminos positivos.
Clase del 2 de junio de 2008
Se mostro como calcular areas mediante integrales. Luego se mostro como calcular volumenes --principio de Cavalieri-- Luego se mostro como calcular longitudes de graficos de funciones de una variable.
Luego se comenzo el estudio de integrales impropias, en intervalos infinitos. Se dieron ejemplos.
Clase del 30 de mayo de 2008.
Se mostro como integrar las funciones a partir de las cuales se realiza la descomposici'on en fracciones simples. (t^k quiere decir elevar t al exponente k)
1/(x-a), 1/(x-a)^k, (ax+b)/(x^2+px+q), (ax+b)/(x^2+px+q)^k
donde el discriminante p^2-4q es negativo.
Las dos ultimas se transforman mediante cambios de variable en 1/(x^2+1), x/(x^2+1),
I(k)=1/(x^2+1)^k, x/(x^2+1)^k
de estas cuatro las dos primeras se integran directamente, la cuarta tambi'en y la tercera por recurrencia se calcula
I(k) en t'erminos de I(k-1)
Luego se mostro como con el cambio de variable de x a tangente de x/2 se calculan integrales de funciones racionales R(senx,cosx,tgx).
Práctico 8
Está colgado el práctico 8.
Clase del miercoles 27
Se siguio considerando la descomposici'on en fracciones simples de los cocientes de polinomios, mostrado m'etodos de c'alculo de los coeficientes en casos concretos. Se enunci'o el teorema en toda generalidad sobre C, luego se mostro como pasar a R en donde aparecen factores cuadr'aticos.
Clase te'orica del Lunes 26
Se demostr'o la "f'ormula de integraci'on por partes" y se dieron algunos ejemplos.
Se demostraron las "f'ormulas de integraci'on por sustituci'on" y se dieron algunos ejemplos.
Se repas'o la divisi'on exacta de polinomios y se comenz'o el estudio del m'etodo de integraci'on de funcinoes racinoales por su descomposici'on en "fracciones simples".
Práctico 7
Ya está subido el práctico 7.
Clase del viernes 23
Ese dia no hubo clase por enfermedad del profesor.
Clase del miercoles 21
Se probo la llamada "regla de Barrow" que dice que si f es continua en el intervalo [a,b] entonces la integral entre a y b de f es igual a F(b)-F(a) donde F es una primitiva de f.
Se enuncio el teorema de "integracion por partes" y se dieron diversos ejemplos.
Clase del lunes 19
Se termino de probar que la suma y el producto por un escalar de una funci'on integrable Riemann son integrables Riemann.
Se probo que la integral es aditiva con respecto al intervalo, o sea que si a<c<b entonces
f es integrable en ab si y solo si lo es en ac y en bc
y ademas la integral en ab de f es la suma de la integral en ac de f con la integral en bc de f
Se extendio usando lo anterior la familia de las funciones integrables Riemann que ahora se prueba que incluye a las funciones continuas a trozos y acotadas y a las funciones monotonas a trozos y acotadas.
Se probo que si f es continua en ab y se denota por F(x) la funcion dada por la integral de a hasta x de la funcion f, entonces la derivada de F es f.
Se definio el concepto de primitiva. Lo anterior permite probar que toda funcion continua tiene
una primitiva y se tiene una forma de escribirla como una integral.
Se probo que dos funciones con la misma derivada en un intervalo son iguales.
Clase del viernes 16
Se probo que f acotada es integrable Riemann si y solo si para todo \epsilon existe una particion
P=P_epsilon (que depende de epsilon) tal que S(f,P)-s(f,P) < epsilon.
Se probo que si f es una funci'on positiva o nula e integrable su integral es tambien positiva o nula.
Se probo --pero incompeltamente-- que el conjunto de las funciones integrables Riemann en un intervalo es un subespacio vectorial y que la integral es una transformacion lineal de ese espacio en R.
Se probo que si tenemos tres puntos a < c < b entonces si f es integrable Riemann en [ab] lo es en [ac] y en [bc] y reciprocamente.
Práctico 6
Ya está el práctico 6.
Muestra de Parcial
La muestra del primer parcial se realizar'a el d'ia viernes 16 de 13 a 13.30 hs en el salon de clase teorica.
Clase del miercoles 14
Se repaso el concepto de suma superior, suma inferior asociada a una particion para una funcion definida en un intervalo y acotada. Se repaso el concepto de integral superior e inferior y de funcion
integrable Riemann.
Se probo que toda funcion monotona es integrable Riemann, que toda funcion continua es integrable Riemann y que la funcion de Dirichlet no es integrable Riemann.
Se probo el teorema del valor madio para el calculo integral en su version:
a. Si f es integrable Riemann y m es su infimo en [a,b] y M su supremo, entonces
m(b-a) es menor o igual a la integral entre a y b de f(x)dx que es menor o igual a M(b-a)
b. Si f es continua en [a,b] la integral de f(x)dx entre a y b es igual a f(c), para algun punto c en el intervalo [a,b].
Práctico 5
Está subido el práctico 5.
Clases del viernes 9 y del lunes 12
Viernes nueve
Teorema: si f:[a,b]-->R es continua entonces f tiene un maximo y un minimo en el intervalo.
Teorema: si f:[a,b]-->R es continua entonces f es uniformemente continua.
Lunes doce
Motivacion general para la introduccion de los conceptos de suma
superior e inferior. Definicion de particion de un intervalo. Orden en
las particiones. Sumas superiores e inferiores para funciones
f:[a,b]-->R acotadas. Demostracion de: si Q es una particion mas
fina que P entonces la suma inferior de Q es mas grande que la suma
inferior de P y la suma superior de Q es mas chica que la suma superior
de P. Demostracion de que si P y Q son particiones cualesquiera,
la suma inferior de P es menor o igual que la suma superior de Q.
Definicion de integral superior e integral inferior como el infimo de
las sumas superiores y el supremo de las sumas inferiores
respectivamente.
Definicion de funcion integrable o integrable Riemann.
Resultados primer parcial.
Están colgados en la cartelera de Bedelia los resultados del primer parcial.
Temas tratados en la clase del Lunes 5 de Mayo
Demostracion del teorema del valor medio para funciones continuas: si f:[a,b] ---> R y t esta en el intervalo [f(a),f(b)], existe s en [a,b], tal que f(s)=t.
Funciones estrictamente crecientes y funciones inversas. Al final de la clase se hicieron algunos ejercicios y se discutieron temas relevantes al parcial.
Temas tratados en la clase del viernes 2 de mayo
Funciones de (subconjuntos de) R en R. Definicion epsilon-delta de limite. Definicion de limite infinito.
Propiedades basicas de limites, suma, producto, cociente, etc. Definicion de funcion continua. Demostracion que si f es continua en c y f(c) diferente de cero entonces 1/f es continua en c. Demostracion de que la composicion de funciones continuas es continua --en un punto o en todo el dominio--. Demostracion de que el signo se preserva en un entorno de un punto para una funcion continua no nula.
Temas tratados en la clase del miercoles 30 de abril
Formula de Abel para \sum a_kb_k.
Fue usada para probar el llamado "criterio de convergencia de Dirichlet":
Si tenemos dos sucesiones dadas a_n,b_n, entonces si $b_n$ es positiva y decreciente con l'imite cero y la sucesion de reducidas de a_n est'a acotada, entonces la serie de t'ermino general a_nb_n converge.
Probamos que las reducidas de la serie de t\'ermino e^(nia) est'an acotadas salvo para los casos obvios.
Finalmente probamos el llamado "criterio de convergencia de Abel" :
Si tenemos dos sucesiones dadas a_n,b_n si b_n es una sucesi'on decreciente y que tiene l'imite y la serie de termino general a_n converge, entonces la serie de t'ermino general a_nb_n converge.
Ejemplos.
Sobre el Parcial del Miercoles 7 de Mayo hora 11.30--13.00
Se permite consulta de material.
Sobre el parcial
El parcial incluye los practicos 1,2,3,4.
Temas tratados en la clase del lunes 28 de abril
Convergencia de la serie geom'etrica. Serie de t'ermino general 1/n^s cuyo convergencia y divergencia se enuncio sin demostracion que se dara cuando se estudien integrales. Convergencia absoluta. Criterio de la raiz y del cociente, demostracion. Series alternadas. Regla de Leibnitz. Convergencia de la serie armonica alternada.
Clase de consulta
Juan Pablo Lago, Martes 29/04, Salon 207, 13 a 14 hs.
Temas tratados en la clase del viernes 25 de abril
Series de terminos positivos. Ejemplos. Criterios de comparaci'on y ejemplos. Criterio de la ra'iz y del cociente.
Práctico 4
Ya está colgado el práctico 4.
Temas tratados en la clase del miercoles 23 de abril
Se termin'o la demostraci'on de la convergencia de la sucesi'on (1+1/n)^n.
Se comenz'o a estudiar series de n\'umeros reales o complejos y se prob'o que una serie que converge tiene t'ermino general con l'imite cero.
temas tratados la clase del lunes 21
se continu'o el estudio de los limites de sucesiones en C y en R. Se hablo de operaciones con limites y de los casos llamados "indeterminados"
Se probo que toda sucesion en R creciente y acotada superiormente tiene limite.
Se comenzo la demostracion de que (1+1/n)^n tiene limite.
N'umeros complejos
El tema de los n'umeros complejos tendr'a como referencia b'asica el libro de Tom M. Apostol, Calculus, Vol 1, Cap 9, Complex Numbers.
Práctico 3
Ya salió el práctico 3.
Una aclaracion sobre los parciales
Para aprobar el curso es necesario obtener al menos 10 puntos sobre 100
en cada parcial. P.e. una distribucion de puntos de 100+9 no permite
aprobar el curso.
Parciales y aprobacion de curso
Se realizaran dos parciales los dias 7 de mayo y 11 de junio en horario de clase.
Cada
parcial vale 100 puntos y es necesario obtener en los dos parciales un
total de 100 con cualquier distribucion: 20 + 80, 10+90, 50+50,etc.
Es necesario obtener en cada uno de ellos un minimo de 10pts.
Práctico 2
Se modificó el práctico 2.
