\documentclass[11pt]{article} \usepackage{verbatim} \makeindex \usepackage[spanish]{babel} \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,amscd} \usepackage{verbatim} %\usepackage[spanish]{babel} %\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,amscd} \usepackage[mathcal]{euscript} \usepackage{pifont} \oddsidemargin 48pt \evensidemargin 38pt \topmargin 27pt \headheight 12pt \headsep 25pt \textheight 595pt \textwidth 440pt \footskip 30pt \marginparpush 5pt \hoffset -1cm \voffset 0pt \marginparsep 11pt \marginparwidth 107pt % sets \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} \newcommand{\PP}{\ensuremath{\mathbb{P}}} \newcommand{\F}{\ensuremath{\mathbb{F}}} \newcommand{\s}{\ensuremath{\mathbb{S}}} \newcommand{\nt}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} %inner product, norm \newcommand{\pr}[2]{\ensuremath{\langle {#1},{#2}\rangle}} \newcommand{\norm}[1]{\ensuremath{\|#1\|}} \newcommand{\ma}{\mathcal{A}} \newcommand{\mb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mc}{\mathcal{C}} \newcommand{\md}{\mathcal{D}} \newcommand{\me}{\mathcal{E}} \newcommand{\mf}{\mathcal{F}} \newcommand{\mg}{\mathcal{G}} \newcommand{\mh}{\mathcal{H}} \newcommand{\ml}{\mathcal{L}} \newcommand{\mm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mn}{\mathcal{N}} \newcommand{\mo}{\mathcal{O}} \newcommand{\p}{\mathcal{P}} \newcommand{\mv}{\mathcal{V}} \newcommand{\fk}{\mathfrak{F}} \newcommand{\sfz}{\mathsf{Z}} %restriction, evaluation symbol% \renewcommand{\r}[1]{\ensuremath{\big|_{#1}}} % abbreviated commands \newcommand{\bc}{\begin{center}} \newcommand{\ec}{\end{center}} \newcommand{\be}{\begin{enumerate}} \newcommand{\ee}{\end{enumerate}} \newcommand{\bi}{\begin{itemize}} \newcommand{\ei}{\end{itemize}} \newcommand{\bd}{\begin{description}} \newcommand{\ed}{\end{description}} \newcommand{\beq}{\begin{equation}} \newcommand{\eeq}{\end{equation}} \newcommand{\beqa}{\begin{eqnarray}} \newcommand{\eeqa}{\end{eqnarray}} \newcommand{\bfr}{\begin{flushright}} \newcommand{\efr}{\end{flushright}} \newcommand{\bfl}{\begin{flushleft}} \newcommand{\efl}{\end{flushleft}} \newcommand{\bp}{\begin{picture}} \newcommand{\ep}{\end{picture}} \newcommand{\bct}{\begin{comment}} \newcommand{\ect}{\end{comment}} % Greek letters \newcommand{\al}{\ensuremath{\alpha}} \newcommand{\del}{\ensuremath{\delta}} \newcommand{\ga}{\ensuremath{\gamma}} \newcommand{\la}{\ensuremath{\lambda}} \newcommand{\sig}{\ensuremath{\sigma}} \newcommand{\te}{\ensuremath{\theta}} \newcommand{\om}{\ensuremath{\omega}} \newcommand{\Om}{\ensuremath{\Omega}} \newcommand{\Ga}{\ensuremath{\Gamma}} \newcommand{\La}{\ensuremath{\Lambda}} \newcommand{\Sig}{\ensuremath{\Sigma}} \newcommand{\Te}{\ensuremath{\Theta}} \newcommand{\Del}{\ensuremath{\Delta}} \newcommand{\ka}{\ensuremath{\kappa}} %abbreviated expressions \newcommand{\es}{espacio} \newcommand{\sa}{$\sigma$-\'algebra} \newcommand{\sas}{$\sigma$-\'algebras} \newcommand{\m}{medible} \newcommand{\lc}{localmente compacto} % miscellaneous commands \newcommand{\sm}{\ensuremath{\setminus}} \newcommand{\inc}{\ensuremath{\hookrightarrow}} \newcommand{\f}{\ensuremath{\longrightarrow\,}} \newcommand{\ff}{\ensuremath{\longmapsto}} \newcommand{\ov}{\overline} \newcommand{\mae}{\mathcal{E}} \DeclareMathOperator{\gen}{span} \DeclareMathOperator{\aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\dom}{dom} \DeclareMathOperator{\sen}{sen} \DeclareMathOperator{\re}{Re} \DeclareMathOperator{\im}{Im} \DeclareMathOperator{\h}{Hol} \begin{document} \bfl {\bf Universidad de la Rep\'ublica}\\ {\bf Facultad de Ciencias}\\ {\bf Centro de Matem\'atica} \efl \vspace*{-2cm} \bfr {\sl Introducci\'on al An\'alisis Complejo\\Curso 2006} \efr \vspace{.2cm} \bc{\bf{\textit{ Pr\'actico 8}}}\ec \vspace{.2cm} \pagestyle{empty} \begin{enumerate} \item Sean $f,g:R\rightarrow S$ funciones holomorfas entre superficies de Riemannn conexas. Si $f(z)=g(z)$ en alg\'un abierto no vac\'\i o de $R$ probar que $f=g$. \item Si $f:R\rightarrow S$ es holomorfa no constante entre superficies de Riemann con $R$ conexa, probar que $f(R)$ es un abierto de $S$. \item Sea $f:R\rightarrow S$ holomorfa no constante entre superficies de Riemann conexas con $R$ compacto. Probar que $S$ es compacta. \item Sea $f:R\rightarrow S$ una biyecci\'on holomorfa entre superficies de Riemann. Probar que $f^{-1}:S\rightarrow R$ es holomorfa. \item Sea $f:R\rightarrow S$ holomorfa no constante entre superficies de Riemann. Probar que $f$ toma cada valor el mismo n\'umero de veces (contado con multiplicidad). \item Explicar que la funci\'on ${\cal P}:\C \rightarrow\C_{\infty}$ asociada al ret\'\i culo $\Lambda$ es holomorfa en el sentido de las superficies de Riemann si se define ${\cal P}(z)=\infty$ para $z\in \Lambda$. \item Sean $\Lambda$ y $\Lambda '$ ret\'\i culos de $\C$ y sea $F:\frac{\C}{\Lambda}\rightarrow\frac{\C}{\Lambda '}$ un mapa holomorfo. Probar que existen $a,b\in\C$ tales que $a\Lambda\subset\Lambda '$ y $F(\Lambda +z)= \Lambda '+az+b,\ \forall z\in\C$. (Sugerencia : definir $\pi (z)= \Lambda +z$ y $\pi '(z)= \Lambda '+z$ para $z\in \C$, si $\varphi$ es una inversa local de $\pi '$, deducir que la derivada de $\varphi\circ F\circ \pi$ se extiende a una funci\'on el\'\i ptica en $\C$.) %\item Sea $C$ una curva proyectiva no singular en $\PP^2(\C)$ definida por el %polinomio $f$. Se dice que $C$ tiene en $p=(a:b:c)$ un punto de inflexi\'on %si la matriz hessiana $H_f(a,b,c)=0$. Usando el teorema de B\`ezout % probar que : %\begin{enumerate} %\item Toda curva proyectiva no singular de grado mayor o igual que dos %tiene un n\'umero finito de puntos de inflexi\'on. %\item Toda curva proyectiva no singular de grado mayor o igual que tres %tiene alg\'un punto de inflexi\'on. %\end{enumerate} \item Sean $C$ y $C'$ dos c\'ubicas no singulares en $\PP^2$ definidas por las ecuaciones $y^2z=4x^3-g_2xz^2-g_3z^3$ e $y^2z=4x^3-g_2'xz^2-g_3'z^3$. Probar que existe una transformaci\'on proyectiva en $\PP^2$ (una aplicaci\'on de $\PP^2$ en $\PP^2$ inducida por una transformaci\'on lineal invertible de $\C^3$ en $\C^3$) dada por una matriz diagonal que lleva $C$ en $C'$ sii $\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2}=\frac{g_2'^3}{g_2'^3-27g_3'^2}$. \item Probar que si $\Lambda$ y $\Lambda '$ ret\'\i culos de $\C$ son equivalentes : \begin{enumerate} \item $\frac{\C}{\Lambda}$ es biholomorfo a $\frac{\C}{\Lambda '}$; \item $\Lambda=a\Lambda '$ con $a\in \C^{*}$; \item $\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2}=\frac{g_2'^3}{g_2'^3-27g_3'^2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document} \item Sea ${\cal F}\subset C(\Omega, M)$ una familia normal. Probar que: \begin{enumerate} \item ${\overline{\{f(z)\ |\ f\in{\cal F}\}}}$ es compacto $\forall z\in\Omega$\ ; \item ${\cal F}$ es una familia equicontinua en cada punto de $\Omega$. \end{enumerate} \item Sea $\{f_n\}\subset C(\Omega,M)$ una familia equicontinua. Si $f\in C(\Omega,M)$ es tal que $lim_nf_n(z)=f(z)$, probar que $f_n\rightarrow f$. \item Sea ${\cal F}$ la familia de funciones anal\'\i ticas $f(z)=z+a_2z^2+... +a_nz^n+...$ definidas en $D(0,1)$ y tales que $|a_n|\leq n$. Probar que ${\cal F}$ es normal. \item Sea $\Omega$ una regi\'on y $\{f_n\}$ una sucesi\'on en $H(\Omega)$ que converge a $f$. \begin{enumerate} \item Si $f\neq 0$, ${\overline{ D(a,r)}}\subset\Omega$ y $f(z)\neq 0$ para $|z-a|=r$, probar que existe $n_0$ tal que $\forall n\geq n_0$ $f_n$ y $f$ tienen el mismo n\'umero de ceros en $D(a,r)$. \item Si cada $f_n$ no se anula en $\Omega$, probar que $f$ es nula o no se anula en $\Omega$. \end{enumerate} \item Sea $\Omega$ una regi\'on y $\{f_n\}$ una sucesi\'on en $H(\Omega)$ localmente acotada y $f\in H(\Omega)$ con la propiedad que $A=\{z\in\Omega\ |\ lim_nf_n(z)=f(z)\}$ tiene un punto de acumulaci\'on en $\Omega$. Probar que $f_n$ converge a $f$. \item Probar que si ${\cal F}\subset H(\Omega)$ es normal entonces ${\cal F}'=\{f'\ |\ f\in{\cal F}\}$ tambi\'en es normal. \item Sea ${\cal F}\subset H(\Omega)$ normal tal que $f(\Omega)\subset A$, $\forall f\in{\cal F}$ con $A$ abierto. Probar que si $g\in H(A)$ es anal\'\i tica y acotada en conjuntos acotados, entonces $\{g\circ f\ |\ f\in{\cal F}\}$ es normal. \item Sea $\{f_n\}\subset H(\Omega)$ una sucesi\'on de funciones inyectivas que convergen a $f$. Probar que $f$ es inyectiva o constante. \item Probar que no existe una funci\'on holomorfa biyectiva entre $\Omega =\{z\ |\ 0<|z|<1\}$ y $\Omega '=\{z\ |\ r<|z|0\}$ \end{center} \begin{center} $\mathcal{C}^R=\{z\in\mathbb{C}: \im [z,a,b,c]<0\}$. \end{center} \be \item Sea $g\in\mathcal{M}$. Probar que si $z\in\mathcal{C}^L$ $(z\in\mathcal{C}^R)$ entonces $g(z)\in g(\mathcal{C})^L$ $(g(z)\in g(\mathcal{C})^R)$. \item Si $a$,$b$, $c$ son reales probar que: \be \item Si $a0\}$. \item Si $a>b>c$ entonces $\mathcal{C}^L=\{z\in\mathbb{C}:\im z<0\}$. \ee \ee \item Calcular $\int_{\ga}f(z)dz$ en los siguientes casos: \be \item $f(z)=\frac{z+2}{z}$,\ \ $\ga :\, \ga(t)=2e^{it}$, $t\in [0,\pi ]$. \item $f(z)=e^z$,\ \ $\ga :\, \ga(t)=(1+i)t$, $t\in [0,1]$. \item $f(z)=z^m\bar{z}^n$, $m,n\in\Z$,\ \ $\ga :\, \ga (t)=e^{it}$, $t\in [0,2\pi]$. \ee \item Calcular las siguientes intergales \be \item $\int_{\mid z\mid=1}\frac{e^z}{z}dz$. \item $\int_{\mid z\mid =2}\frac{1}{z^2+1}dz$. \ee \item \ding{107} Integrando $f(z)=1/z$ sobre la elipse $\ga:\, \ga (t)=a\cos t+ib\sen t$, mostrar que \[\int_0^{2\pi}\frac{dt}{a^2\cos^2t+b^2\sen^2t}=\frac{2\pi}{ab}.\] \item Sea $\ga$ el cuadrado de v\'ertices $\pm 2\pm 2i$, recorrido en sentido antihorario. Calcular: \begin{tabular}{lll} &&\\ (a) $\int_\ga\frac{e^{-z}}{z-\pi/2}dz$; & \hspace*{1cm} (b) $\int_\ga\frac{\cos z}{z(z^2+8)}dz$;& \hspace*{1cm} (c) $\int_\ga\frac{z\, dz}{2z+1}$;\\&&\\ (d) $\int_\ga\frac{\tan (z/2)}{(z-x_0)^2}dz$, $x_0\in (-2,2)$;&\hspace*{1cm} (e) $\int_\ga\frac{\cosh z}{z^4}$. \end{tabular} \ee \textit{El ejercico marcado con \ding{107} es para entregar. Fecha l\'imite de entrega 3 de mayo.} \end{document}