Introducción al Análisis Real

(I) MEDIDAS

14/3 - 18/3 : Presentación del curso; álgebras y sigma-álgebras, premedidas, medidas y medidas exteriores. (se dictará sólo la primera clase de teórico y ninguna de práctico en esta semana, debido a la suspensión de las clases del jueves y el viernes).
21/3 - 25/3 : No hay clases (Semana Santa).
28/3 - 1/4 : Propiedades básicas de las medidas. Ejemplos. Medidas completas y completación de medidas. Generación de medidas: teorema de de Carathéodory. Teoremas de extesión y de aproximación.
4/4 - 8/4 : La medida de Lebesgue. Conjuntos de Cantor. Propiedades; existencia de conjuntos no medibles Lebesgue. Comentarios sobre la paradoja de Banach-Tarski. Medidas de Lebsgue-Stieltjes.

11/4 - 15/4 : Espacios medibles y funciones medibles. Producto de espacios medibles. Aproximación de funciones medibles por funciones simples. Convergencia en medida; teorema de Egoroff.
18/4 - 22/4 : Integración de funciones no negativas. Teorema de convergencia monótona y lema de Fatou.
25/4 - 29/4 : Integración de funciones complejas. Teorema de convergencia dominada; aplicaciones.
2/5 - 6/5 : Comparación de la integral de Riemann con la integral de Lebesgue.
9/5 - 13/5 : Integración en espacios producto. Teorema de Fubini-Tonelli.
16/5 - 20/5 : Integración en espacios localmente compactos de Hausdorff. Repaso sobre propiedades de estos espacios. Regularidad. Medidas de Radon. Teorema de Lusin.
23/5 - 27/5 : Teorema de representación de Riesz para funcionales positivas.

30/5 - 3/6: Medidas con signo. Descomposición de Hahn y descomposición de Jordan. Teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym. Medidas complejas. Extensión de resultados: teoremas de Lebesgue-Radon-Nikodym para medidas complejas

6/6 - 10/6 : Teorema de representación de Riesz para C₀(X).
13/6 - 17/6 : Espacios L^p. Teorema de representación de Riesz para espacios L^p.

20/6 - 1/7 : Diferenciación en espacios euclideanos. Funciones de variación acotada. Funciones absolutamente continuas.