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Adriana Da Luz (2017)

Structures hyperboliques et propriétés robustes des flots singuliers

Tesis de Doctorado, PEDECIBA , UdelaR.

Una propiedad de un sistema dinámico es Cr- robusta si se cumple para un conjunto abierto de sistemas con la topología Cr. Para difeomorfismos o flujo no singulares, existen muchos resultados relacionando propiedades C1-robustas y estructuras globales de la dinámicas, como la hiperbolicidad, hiperbolicidad parcial o splittings dominados. Por otro lado existen dificultades cuando una propiedad robusta se cumple en un conjunto de órbitas conteniendo órbitas regulares que acumulan contra singularidades. Este fenómeno está bien entendido principalmente en dimensión 3, pero hasta ahora seguía siendo una obstrucción para generalizar este tipo de resultados en dimensiones más altas. En este trabajo en primer lugar construimos un avierto de ejemplos en dimensión 5 de un flujo estrella que contiene 2 singularidades de distinto índice, robustamente en la misma clase de recurrencia por cadenas. Esto nos permite mostrar que una generalización directa de los resultados en dimensión 3, no va a ser posible en dimensiones más altas, es decir, existen conjuntos abiertos de flujos estrella, que no son singularmente hiperbólicos en el sentido clásico. En segundo lugar, con Chrsitian Bonatti, proponemos un procedimiento general para adaptar las estructuras hiperbólicas usuales a las singularidades. Creemos que esta interpretación del efecto de las singularidades sobre las estructuras hiperbólicas, abre un camino para tratar con la ya mencionada dificultad de la coexistencia robusta de singularidades y órbitas regulares. En particular esta nueva definición nos permite generalizar la prueba en [MPP] para obtener una caracterización de los flujos estrella en un abierto y denso y para cualquier dimensión. En tercer lugar, usando la misma herramienta mencionada arriba recuperamos los resultados en [ABC] y[BDP] para flujos. Mostramos hay un avierto y denso C1 de campos en el que un flujo con una clase de recurrencia robusta tiene una forma de hiperbolicidad débil. Esto muestra que la manera que proponemos de interpretar las singularidades tiene el potencial de adaptarse a las diversas situaciones en las que coexisten singularidades y órbitas regulares con el fin de re obtener los resultados para difeomorfismos.