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Gustavo Mata (2015)

Funciones de Igusa-Todorov

Tesis de Doctorado, Facultad de Ingeniería, UdelaR, PEDECIBA, .

En este trabajo desarrollamos nuevas herramientas del Algebra Homológica, las llamadas funciones de Igusa-Todorov (que notaremos φ, ψ), y estudiamos la φ-dimensión y la ψ-dimensión de estructuras algebraicas en diversos contextos (álgebras de Artin, co-álgebras semiperfectas, etc).
Después de un primer capítulo con los preliminares necesarios para la comprensión del resto de la tesis, nos dedicamos en el segundo capítulo a desarrollar resultados generales de las funciones de Igusa-Todorov, los cuales son el soporte de resultados en contextos particulares que aparecerán en los
capítulos siguientes.
En el capítulo 3 introducimos el concepto de eslabón, que aparece lateralmente en algunos trabajos del área pero sin ser considerado como objeto central de estudio. Utilizando la caracterización para la función φ que aparece en [FLM] y otras herramientas veremos en este capítulo condiciones para que la dimensión finitista sea finita y sea estrictamente menor que la φ-dimensión dependiendo que los eslabones no sean todos simples.
En el capítulo 4 trabajamos con las funciones de Igusa-Todorov para las álgebras de radical cuadrado nulo. Si A es un ́algebra de radical cuadrado nulo, probamos que φ dim(A) ≤ n y ψ dim(A) ≤ 2n − 3, siendo n = |K 0 (A)|.
Además describimos completamente el carcaj de las álgebrascon una cantidad fija de vértices cuando ψ dim(A) = 2n − 3 y tambi ́en brindamos condiciones necesarias sobre el carcaj para que φ dim(A) = n. Vemos como aplicación de los resultados obtenidos que φ dim(A) = φ dim(A op ), para este tipo de álgebras.
Para una álgebra n-Gorenstein A, se prueba en el capítulo 5, φ dim(A) = ψ dim(A) = n. Como consecuencia del resultado anterior tenemos las siguientes igualdades: φ dim(A) = φ dim(A op ), ψ dim(A) = ψ dim(A op ) y obtenemos aplicaciones interesantes de estos resultados a la familia de álgebras inclinadas de conglomerado y a la familia deálgebrasgentiles.
De manera similar a la forma que lo hacemos para las álgebras de Artin, en el capítulo 6 introducimos la función de Igusa-Todorov (que notaremos φ) y la noción de φ-dimensión para las co-álgebras semiperfectas.
Para una co-álgebra semiperfecta C probamos que la φ-dimensión caracteriza a las co-álgebras quasi-co-Frobenius, esto es, C es qcF si y solamente si
φ dim(C) = 0.2
Finalmente en el capítulo 7 trabajamos con la función φ en álgebras que son extensiones por escalares por un álgebra de caminos. Se verá, entre otras
cosas, que la φ-dimensión aumenta al menos por 1 cuando realizamos la exttensión.
[FLM] S. Fernandes, M. Lanzilotta, O. Mendoza The Phi-dimension: A new homological measure, Algebras and Representation Theory 17 (5), (2014).