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Alejandro Cholaquidis (2014)

Técnicas de teoría geométrica de la medida en estimación de conjuntos

Tesis de Doctorado, PEDECIBA, UdelaR.

En términos muy generales, puede decirse que esta tesis es un estudio de la incorporación a la metodología estadística de algunas ideas básicas de geometría euclídea. Más concretamente, con la excepción parcial del ultimo capítulo, la tesis gira en torno a ciertos conceptos de geometría convexa examinados desde el punto de vista estadístico. La propiedad de volumen polinómico. El capítulo 2 toma como punto de partida la propiedad de “volumen polinómico” de los conjuntos convexos. Esta propiedad, probada por Steiner a mediados del siglo XIX, establece que el volumen de la dilatación B(S, r) de un conjunto convexo compacto S ⊂ Rd , considerado como una función del factor de dilatación r, es un polinomio de grado d, cuyos coeficientes tienen una interpretación muy directa en términos de las propiedades geométricas (medida de la frontera, curvatura,...) del conjunto . En dicho capítulo “aislamos” esta propiedad de volumen polinómico, considerando la clase de conjuntos (mucho más amplia que la clase de los conjuntos convexos) que tienen volumen polinómico, al menos en un cierto intervalo [0, R). Nuestra conclusión principal es que esta clase de conjuntos (que estudiamos en los casos d = 2 y d 3) es lo bastante sencilla como para permitir una estimación paramétrica (con procedimientos estándar de máxima verosimilitud y m todo de momentos) de algunos funcionales importantes como, por ejemplo, la medida de su frontera. La propiedad de hiperplano soporte. Otra propiedad esencial de los conjuntos convexos cerrados (que de hecho los caracteriza cuando son de interior no vacío es la existencia ) de un hiperplano soporte en todo punto de su frontera. El capítulo 3 es el resultado de “aislar” esta propiedad en una versión generalizada en la que el hiperplano (o más bien su correspondiente semiespacio exterior) es reemplazado por un cono finito de altura h y amplitud fija ρ (en el caso convexo tendríamos ρ = π y h = ∞). Denominamos conjuntos ρ, h-cono convexos a los que satisfacen esta condición de “cono exterior”, reminiscente de la propiedad convexa de hiperplano soporte.Hemos definido de manera natural el cierre cono-convexo y hemos analizado sus propiedades asintóticas y su implementación práctica como estimador del soporte S del cual se suponen extraídos los puntos muestrales. Como una interesante propiedad adicional de carácter probabilístico, la clase de los conjuntos ρ, h-cono convexos resulta ser una clase de Glivenko-Cantelli. La distancia de Hausdorff entre conjuntos considerada como distancia funcional. En el capítulo 4, en el contexto de regresión o clasificación con datos funcionales, definimos una métrica “visual” entre funciones basada en la distancia de Hausdorff entre los correspondientes hipografos. Estudiamos las propiedades de este espacio métrico demostrando, en particular, que es completo, separable y localmente compacto. Discutimos las implicaciones del uso de este espacio en problemas de clasificación funcional supervisada. El estudio de algunos problemas con datos de espectrogramas (de masas o de resonancia magnética) muestra que la distancia propuesta es especialmente adecuada (cuando se compara con las distancias tradicionales entre funciones) en problemas de clasificación.