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Fabián Crocce (2013)

Optimal Stopping for Strong Markov Processes: Explicit solutions and verification theorems for diffusions, multidimensional diffusions, and jump-processes.

Tesis de Doctorado, PEDECIBA, Universidad de la República.

Consideramos el problema de parada óptima que consiste en, dados un proceso de Markov fuerte X = {Xt } a valores en E, y una función de pago g : E → R, encontrar el tiempo de parada óptima τ* y la función de valor Vα que verifican: Vα (x) = Ex e−ατ g(Xτ ∗ ) = sup Ex e−ατ g(Xτ ) , τ donde el supremo es tomado sobre la clase de todos los tiempos de parada, α es una tasa de descuento positiva, y x es el estado del que parte el proceso. El enfoque que seguimos se basa en dos componentes: la caracterización de Dynkin de la función de valor como la mínima función α-excesiva que domina g; y la representación de Riesz de las funciones α-excesivas en términos del núcleo de Green. La principal referencia para este enfoque es Salminen (1985). En el contexto de las difusiones unidimensionales damos una caracterización completa de la solución, asumiendo algunas condiciones sobre g. Si el problema de parada óptima es tal que la región de parada es de la forma [x* , ∞) o de la forma (−∞, x* ], damos una ecuación sencilla para encontrar el valor crítico x* y discutimos la validez del principio de pegado suave. También incluimos algunos ejemplos nuevos como ser la parada óptima del movimiento browniano asimétrico (skew) y del movimiento browniano pegajoso (sticky); en particular damos ejemplos en que no vale el principio de pegado suave. En el caso general, proponemos un algoritmo que encuentra la región de parada óptima cuando ésta es una unión disjunta de intervalos, dando también una fórmula sencilla para la función de valor. Usando el algoritmo mencionado resolvemos algunos ejemplos que incluyen funciones de pago polinomiales. Para procesos de Markov generales con trayectorias continuas (como ser las difusiones multidimensionales) damos un teorema de verificación que luego usamos para resolver un problema concreto. Por último, consideramos un proceso de Markov fuerte unidimensional solo con saltos positivos (o solo con saltos negativos) y damos un teorema de verificación para problemas en que la región de parada es de la forma [x∗ , ∞) (de la forma (−∞, x*]). Como aplicación de los resultados obtenidos consideramos el problema de la valuación de una opción americana de tipo put en un mercado de Lévy, y también resolvemos un problema de parada óptima en que el proceso subyacente es un proceso de Ornstein-Uhlenbeck combinado con un proceso de Lévy.