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Laura Martí (2006)

Condiciones de promediabilidad en fibrados de Fell

Tesis de Maestría, PEDECIBA - UdelaR.

Este trabajo tiene dos objetivos: por un lado, hacer una introducción a los fibrados de Fell sobre grupos discretos, presentando la definición, ejemplos y propiedades básicas, y por otro lado, probar algunos resultados nuevos que se refieren a la promediabilidad en este contexto. Entre los ejemplos de fibrados de Fell que presentamos, el principal de ellos es el de los fibrados de Fell asociados a acciones parciales. Es por eso que incluimos las definiciones y algunos resultados básicos concernientes a las acciones parciales y sus acciones envolventes en el caso de espacios topológicos y C∗-álgebras. Asímismo, incluimos un resultado nuevo: dada una acción parcial α en una C∗-álgebra conmuntativa, con acción envolvente αe en un espacio con unidad, si φ es un estado invariante por α, existe una unica extensión a una funcional lineal positiva invariante por αe . La noción de fibrado de Fell promediable que introducimos, presentada en [Exe97], es una extensión de la caracterización de grupo promediable proporcionada por la propiedad de contención débil. Dado un fibrado de Fell B le asociamos dos C∗ -álgebras, C ∗ (B) y Cr∗ (B). La primera de ellas se obtiene a partir de una propiedad universal, en tanto que la segunda se obtiene a partir de una representación. Ambas están relacionadas por un morfismo sobreyectivo λ† : C ∗ (B) → Cr (B). Decimos que B es promediable si λ† es un isomorfismo, y esta situación es ventajosa ya que C ∗ (B) y Cr (B) se obtienen de formas tan distintas. Dados dos fibrados de Fell A y B de manera que A ⊆ B y se verifican otras condiciones de compatibilidad entre ellos, A es promediable si y sólo si B lo es (el directo de esta propiedad es un resultado de F. Abadie, ver [Aba03], y el recíıproco se prueba en este trabajo). En particular, si α es una acción parcial y β es su acción envolvente, α es promediable si y sólo si β lo es. Como corolario de este resultado probamos que toda representación parcial admite una dilatación unitaria. Gracias al resultado sobre extensión de estados invariantes y a la equivalencia de la promediabilidad de una acción parcial y de su acción envolvente, obtenemos una generalización de una propiedad de Zeller-Meier (ver [ZM68, 5.2]) que relaciona la promediabilidad de un grupo con la promediabilidad de fibrados sobre el grupo obtenidos a partir de acciones. Las principales referencias bibliograficas de este trabajo son [Aba03] y [Exe97]
acciones parciales, fibrados de Fell, fibrados de Fell promediables