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Adriana Da Luz (2013)

Estructura de conjuntos hiperbólicos en toros

Tesis de Maestría, Facultad de Ciencias, Universidad de la República (PEDECIBA).

Consideramos M es una variedad compacta y f : M → M es un difeomorfismo, decimos que Λ ⊂ M es conjunto hiperbólico, si es compacto e invariante y para cada x ∈ Λ el espacio tangente admite una separación en subespacios que cumplen: Tx M = E s (x) ⊕ E u (x) Dfx (E s (x)) = E s (f (x)) y Dfx (E u (x)) = E u (f (x)) existen constantes C > 0 y λ ∈ (0, 1) tales que para todo n ∈ N se tiene que Df n (v) ≤ Cλn v para v ∈ E s (x) y Df −n (v) ≤ Cλ−n v con v ∈ E u (x) . Estos sistemas muestran dinámicas caóticas que a pesar de ser ricas y complejas, al día de hoy tienen una descripción bastante amplia y completa. Para ε > 0 suficientemente pequeño y x ∈ Λ , un conjunto hiperbólico, podemos definir las variedades estables e inestables locales, respectivamente de la siguiente manera: Wε (x, f ) = { y ∈ M | para todo n ∈ N, d(f n (x), f n (y)) < ε } , y Wε (x, f ) = y ∈ M | para todo n ∈ N, d(f −n (x), f −n (y)) < ε Nos interesaran particularmente los conjuntos hiperbólicos que tienen la siguiente propiedad: Definición 0.0.1. Sea f : M → M un difeomorfismo y ∆ un conjunto hiperbólico. Decimos que ∆ tiene estructura de producto local, si existe δ > 0 tal que si x, y ∈ ∆, y d(x, y) < δ entonces Wε (x) ∩ Wε (y) ∈ ∆ donde ε es suficientemente chico. En esta tesis presentaremos varios resultados acerca de conjuntos hiperbólicos invariantes. En particular nos interesa estudiar la siguiente pregunta planteada por Katok y Hasselblatt Pregunta. Sea Λ un conjunto hiperbólico, y V un entorno de Λ ¿Existe un conjunto con estructura de producto local Λ tal que Λ ⊂ Λ ⊂ V ? Construiremos nuevos contraejemplos para esta pregunta. Mostraremos que hay ejemplos de conjuntos que no cumplen lo anterior en automorfismos lineales del Tn y por lo tanto estos ejemplos son robustos. También construiremos ejemplos de conjuntos transitivos que no están contenidos en ningún conjunto con estructura de producto local. Los ejemplos de este tipo construidos hasta ahora por Crovisier y por Fisher, ́ eran en dimensión mayor o igual a 4, ́ no eran transitivos. Construiremos ejemplos transitivos y robustos en T3 y probaremos que en dimensión 2 no es posible generar ejemplos transitivos.