Secciones
Usted está aquí: Inicio Biblioteca Tesis de Grado y Posgrado Tesis de posgrado Tesis de Maestría Clasificación de Álgebras Toupie

Dalia Artenstein (2011)

Clasificación de Álgebras Toupie

Tesis de Maestría, Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (PEDECIBA).

El objeto de estudio de este trabajo está enmarcado dentro del área de la teoría de representaciones de álgebras, y dentro de ésta, en el uso de carcajes como herramienta para la comprensión de la categoría de los módulos asociados a un álgebra. Más específicamente, el objetivo del trabajo será clasificar con respecto a su tipo de representación a un conjunto de álgebras llamadas Toupie. Dichas álgebras son de la forma kQ/I siendo kQ el álgebra de caminos de un carcaj Toupie e I un ideal admisible. Un carcaj Toupie es aquel que tiene única fuente, único pozo y dado un vértice que no es pozo ni fuente una única flecha llega a é́l y una única flecha sale de él. Cuando decimos clasificar según su tipo de representación nos referimos a agrupar a las álgebras Toupie en tres clases: las de tipo de representación finita, tipo de representación ́infinita mansa y tipo de representación infinita salvaje según la cantidad de representaciones indescomponibles no isomorfas que posean. La importancia de clasificar las á́lgebras Toupie en la teoría de representaciones de álgebras radica en el hecho que el carcaj asociado a un álgebra triangular (Q, el carcaj asociado al álgebra triangular no posee ciclos orientados) se escribe como unión de carcajes Toupie. Estas álgebras ya han sido trabajadas en “Toupie algebra, some examples of laura algebras”[4] y en “Hochschild cohomology of a generalisation of canonical algebras”[5]. ́ En el segundo capítulo se trabajará en aspectos relevantes del Algebra Homológica involucrados en esta tesis, entre ellos el funtor extensión y la dimensión global de un álgebra. En particular, en la tercer sección de este capítulo, se verá el teorema de Auslander que demuestra que las dimensiones globales a derecha y a izquierda de un anillo de dimensión finita coinciden. En el tercer capítulo repasaremos algunos resultados clásicos con respecto al tipo de representación de un álgebra. Entre ellos se destaca el teorema de Bongartz que relaciona la forma cuadrática de Tits de un álgebra con su tipo de representación. El cuarto y último capítulo será dedicado a trabajar el problema de clasificación de las álgebras Toupie según su tipo de representación. Daremos la definición de álgebra Toupie y luego nos centraremos en su clasificación. Para esto utilizaremos distintos argumentos, algunos de ellos adaptando temas ya trabajados anteriormente por otros autores como las álgebras canónicas y supercanónicas y otros pensados especialmente para este problema, como la técnica de inmersión. El capítulo terminará con un teorema que clasificará completamente las álgebras Toupie.