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Diego Armentano (2007)

Sistemas Polinomiales Aleatorios

Tesis de Maestría, Facultad de Ciencias, Universidad de la República (PEDECIBA).

El tema principal de este trabajo es el estudio del número de soluciones de un sistema de m ecuaciones polinomiales en m incógnitas reales, cuando los coeficientes son tomados al azar. Mostraremos dos enfoques diferentes de como atacar el problema. El primero es utilizado por M. Shub y S. Smale, que introducen una medida particular en el espacio de coeficientes con cierta propiedad geométrica (invarianza bajo la acción del grupo ortogonal) y mediante la Fórmula de co-área logran computar el promedio del número de soluciones. El segundo enfoque se debe a J.M. Azaïs y M. Wschebor, en donde utilizan la fórmula de Rice que expresa los momentos del número de pre-imágenes de un campo aleatorio f : M → Rd , donde M es un subconjunto de Rd , mediante una integral. Este nuevo enfoque permite generalizar el primero a otras medidas en el espacio de coeficientes. En particular mostraremos como se puede atacar con estos métodos un nuevo problema. Dicho problema consiste en estudiar que le sucede al número de soluciones de un sistema polinomial determinístico cuando a éste se lo perturba aleatoriamente. Más precisamente, consideraremos sistemas polinomiales aleatorios de la forma Pi (t) + Xi (t) = 0, t ∈ Rm, i = 1, . . . , m, donde los Pi′ s (señal ) son polinomios no aleatorios y Xi′ s (ruido) son polinomios aleatorios independientes con distribución Gaussiana centrada invariantes bajo transformaciones ortogonales del espacio. Para cada i fijo, los polinomios Pi y Xi tienen grado efectivo di . Probaremos que bajo ciertas hipótesis en lo referente a la relación entre la señal y el ruido, el cociente entre el número esperado de soluciones del sistema perturbado y el número esperado de soluciones del sistema centrado, tiende geométricamente a cero cuando el tamaño del sistema crece. Esto significa que el comportamiento del valor esperado del número de soluciones es dominado por el ruido. Además de establecer los pre-requisitos geométricos necesarios para estudiar el primer enfoque, incluiremos una demostración del teorema de Bézout. También estudiaremos la conexión entre los dos enfoques, el cual nos ayudará entender más en profundidad el problema planteado.
Fórmula de Co-área, Fórmula de Rice, Sistemas polinomiales aleatorios, Sistemas polinomiales homogéneos, Teorema de Bézout