Tesis de Doctorado

Rice Formula Extensions and Applications - Federico Dalmao (2013)

El hilo conductor de esta monografía es la Fórmula de Rice para el número de cruces de un proceso estocástico con un nivel o altura dada. Trabajamos sobre dos tipos de problemas vinculados con dicha fórmula (familia de fórmulas). Por un lado, en la primer parte de la tesis, abordamos el problema de extender la Fórmula de Rice a procesos cuyas trayectorias tengan saltos, se obtiene tal fórmula para un proceso que es la suma de dos procesos independientes: un proceso de trayectorias regulares (suaves) al cual se le pueda aplicar la versión tradicional y uno de saltos. Se dan expresiones integrales para el número medio de cruces continuos y para el número medio de cruces discontinuos (saltos) al nivel dado. Para ello es necesario aplicar técnicas distintas, unas de procesos continuos y otras de procesos puntuales. Luego, se presenta un par de ejemplos de cálculo concreto de estas fórmulas y se compara qué tipo de cruces predomina a medida que el nivel tiende a infinito. Además, en uno de estos ejemplos y en otro de un proceso puramente de saltos, se estudia la cola de la distribución del máximo cuando el nivel crece a infinito. Por otro lado, en la segunda parte de la tesis, nos dedicamos a la aplicación de la Fórmula de Rice (tradicional, es decir, para procesos suaves) para estudiar el número de raíces de polinomios aleatorios y sistemas de polinomios aleatorios. Más concretamente, en primer lugar, abordamos los Polinomios Aleatorios Trigonométricos Clásicos definidos como combinaciones lineales de cosenos con coeficientes independientes Gaussianos. Se obtiene la varianza asintótica y un Teorema Central del Límite para el número de ceros de este tipo de polinomios. En este punto, juega un rol protagónico el llamado Caos de Wiener. Finalmente, estudiamos sistemas de ecuaciones polinomiales aleatorios complejos, para ello adaptamos la Fórmula de Rice sobre variedades a este contexto. Luego, usamos estas herramientas para dar un posible camino de prueba del Teorema de Bézout sobre el número de soluciones de tales sistemas. Obtenemos la prueba en algunos casos particulares, entre ellos el Teorema Fundamental del Álgebra y los sistemas cuadrados cuadráticos (grado dos) de cualquier orden.

Complexity and Random Polynomials - Diego Armentano (2012)

En esta disertación analizamos dos enfoques diferentes para el problema de resolver sistemas de ecuaciones polinomiales. En la primer parte de esta memoria analizamos la complejidad de ciertos algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones, a saber, métodos homotópicos o métodos de seguimiento de caminos. Ponemos especial atención al problema de valores propios, introduciendo un marco proyectivo para analizar este problema. El resultado principal es acotar la complejidad de caminos de homotopía en términos de la longitud del camino en la métrica de condición. También estudiaremos el problema de la complejidad del teorema de Bézout, reconsiderando el algoritmo de Smale en la luz del trabajo hecho en los últimos años. Al final de esta primera parte definimos un nuevo número de condición adaptado a perturbaciones con direcciones uniformes en un contexto general entre variedades Riemannianas, relacionándolo con los números de condición clásicos en varios ejemplos interesantes. En la segunda parte de esta memoria nos concentramos en las soluciones de sistemas de ecuaciones cuando los coeficientes de estos son tomados al azar con cierta distribuci ́n de probabilidad. Empezaremos dando una breve reseña sobre la fórmula de Rice para campos aleatorios. Repasaremos algunos resultados recientes relacionados al número esperado de raíces reales de un sistema de ecuaciones polinomiales. También repasaremos, dando nuevas pruebas, algunos resultados conocidos relacionados al caso indeterminado, es decir, cuando el sistema de ecuaciones aleatorias tiene más variables que ecuaciones. También estudiaremos sistemas polinomiales aleatorios complejos. Introduciremos las técnicas de Rice en la teoría de campos aleatorios complejos. En particular, daremos un enfoque probabilista al teorema de Bézout usando las fórmulas de Rice. En el final de esta segunda parte consideramos el siguiente problema: ¿cómo están distribuidas las raíces de polinomios complejos aleatorios? Probaremos que puntos en la esfera asociados a raíces de polinomios complejos aleatorios están sorprendentemente bien distribuídos con respecto al mínimo de la energía logaritmica sobre la esfera. Esto es, raíces de polinomios aleatorios brindan una muy buena aproximación de los puntos de Fekete elípticos.

Partial hyperbolicity and attracting regions in 3-dimensional manifolds - Rafael Potrie (2012)

Esta tesis pretende contribuir al estudio de la dinámica diferenciable tanto desde sus aspectos semilocales como globales. El estudio se centra en dinámicas diferenciables en variedades de dimensión 3. Se busca comprender por un lado la existencia y estructura de los atractores así como propiedades topológicas y dinámicas implicadas por la existencia de una descomposición parcialmente hiperbólica global. Las contribuciones principales son la construcción de nuevos ejemplos de dinámicas sin atractores donde se da una descripción bastante completa de la dinámica alrededor de una clase homoclínica salvaje y dos resultados sobre la coherencia dinámica de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos en \( \mathbb{T}^3 \).