Tesis de Maestría

Model Selection Techniques & Sparse Markov Chains - Nicolás Fraiman (2008)

Este trabajo trata sobre problemas de seleccion de modelo. El capitulo 0 plantea un estudio general de estos problemas estadisticos. Dados un proceso estocastico y una familia de clases de modelos, con cada clase determinada por un parametro de estructura y cada modelo dentro de una clase descrito por un vector de parametros en un espacio cuya dimension depende de la estructura. Supongamos que dada una realizacion del proceso podemos estimar el vector de parametros si la estructura es conocida. La tarea es estimar esta ultima. \( \\ \\ \\ \) Trabajamos usando el concepto de criterio de informacion, el parametro de estructura es estimado mediante minimizar un valor asignado a cada clase de modelos. Los criterios mas utilizados son el Criterio de Informacion Bayesiano (BIC) y el principio del minimo largo de descripcion (MDL). El BIC consiste de dos terminos: menos el logaritmo de la maxima verosimilitud, esto mide la bondad de ajuste; y la mitad del numero de parametros libres por el logaritmo del tamaño muestral, esto penaliza modelos muy complejos. \( \\ \\ \\ \) En el capitulo 2, incluimos algunos resultados recientes en estimacion de cadenas de Markov de alcance variable (VLMC), los cuales nos ayudaran a entender mas en profundidad el problema planteado. Basados en Csiszar y Talata (2006) extendemos el concepto de arbol de contextos para procesos ergodicos arbitrarios y demostramos que los principios BIC y MDL dan estimadores fuertemente consistentes del arbol de contextos. \( \\ \\ \\ \) En el capitulo 3 presentamos una nueva e ingeniosa representacion de los modelos Markovianos: los modelos de arbol de contexto disperso (stms), una generalizacion de las cadenas de alcance variable, donde permitimos juntar conjuntos mas generales de estados con distribuciones similares, y preservamos la util estructura combinatoria de los arboles de contextos. El tema principal del trabajo es estudiar un metodo para estimar la estructura en esta clase de modelos parsimoniosos. Mostraremos resultados de consistencia para estimadores basados en el principio MDL, el objetivo es encontrar el menor arbol que determina las probabilidades de transicion. \( \\ \\ \\ \) Finalmente, en el capitulo 4 describimos brevemente algunas aplicaciones en Biologia y Teoria de la Informacion. Ilustramos como estas tecnicas pueden ser utilizadas para clasicar familias de proteinas. Ademas mostramos como se pueden utilizar para comprimir imagenes bitonales, dando lugar a un metodo de compresion sin perdida que mejora la performance de los metodos basados en arboles de contexto, y de varios algoritmos populares de compresion.

Clases homoclínicas genéricas con interior - Rafael Potrie (2008)

En esta tesis presentamos resultados genéricos de difeomorfismos de variedades relacionados con una conjetura que afirma que una clase homoclínica genérica con interior ha de ser toda la variedad. En particular, damos una prueba nueva para el caso en dimensión 2 (este resultado se encontraba probado) y una prueba para un caso particular en dimensión 3 (por ejemplo, cuando la clase homoclínica se encuentra lejos de tangencias).

Sistemas Polinomiales Aleatorios - Diego Armentano (2007)

El tema principal de este trabajo es el estudio del número de soluciones de un sistema de \( m \) ecuaciones polinomiales en \( m \) incógnitas reales, cuando los coeficientes son tomados al azar. Mostraremos dos enfoques diferentes de como atacar el problema. \( \\ \\ \\ \) El primero es utilizado por M. Shub y S. Smale, que introducen una medida particular en el espacio de coeficientes con cierta propiedad geométrica (invarianza bajo la acción del grupo ortogonal) y mediante la Fórmula de co-área logran computar el promedio del número de soluciones. \( \\ \\ \\ \) El segundo enfoque se debe a J.M. Azaïs y M. Wschebor, en donde utilizan la fórmula de Rice que expresa los momentos del número de pre-imágenes de un campo aleatorio \(f : M \rightarrow \mathbb{R}^d \), donde \( M \) es un subconjunto de \(\mathbb{R}^d\) , mediante una integral. Este nuevo enfoque permite generalizar el primero a otras medidas en el espacio de coeficientes. En particular mostraremos como se puede atacar con estos métodos un nuevo problema. Dicho problema consiste en estudiar que le sucede al número de soluciones de un sistema polinomial determinístico cuando a éste se lo perturba aleatoriamente. \( \\ \\ \\ \) Más precisamente, consideraremos sistemas polinomiales aleatorios de la forma \(P_i (t) + X_i (t) = 0\), \(t \in \mathbb{R}^m\), \(i = 1, . . . , m\), donde los \(P_i′ s\) (señal ) son polinomios no aleatorios y \(X_i′s\) (ruido) son polinomios aleatorios independientes con distribución Gaussiana centrada invariantes bajo transformaciones ortogonales del espacio. Para cada \( i\) fijo, los polinomios \( P_i \) y \( X_i \) tienen grado efectivo \( d_i \). \( \\ \\ \\ \) Probaremos que bajo ciertas hipótesis en lo referente a la relación entre la señal y el ruido, el cociente entre el número esperado de soluciones del sistema perturbado y el número esperado de soluciones del sistema centrado, tiende geométricamente a cero cuando el tamaño del sistema crece. Esto significa que el comportamiento del valor esperado del número de soluciones es dominado por el ruido. \( \\ \\ \\ \) Además de establecer los pre-requisitos geométricos necesarios para estudiar el primer enfoque, incluiremos una demostración del teorema de Bézout. También estudiaremos la conexión entre los dos enfoques, el cual nos ayudará entender más en profundidad el problema planteado.

Variedades tóricas proyectivas y dualidad - Mathias Bourel (2007)

La teoría de dualidad de variedades proyectivas, en particular de cónicas planas, es un tema clásico de la geometría. Por otro lado, y bajo distintas apariencias, las variedades proyectivas duales han sido consideradas en varias ramas de la matemática. En este trabajo nos concentramos en el estudio de la dualidad en el contexto de las variedades tóricas proyectivas. En particular, clasificamos y damos una descripción completa de las variedades tóricas autoduales. Esta clasificación nos permite construir familias infinitas de variedades tóricas autoduales no lisas, ampliando de este modo las familias de variedades autoduales conocidas hasta el momento.

Espacio de palabras cíclicas y estructura de biálgebra de Lie - Ana González de los Santos (2006)

Este trabajo trata de estudiar la estructura algebraica del espacio de clases libres de homotopía de curvas sobre una superficie y del espacio de las palabras cíclicas. \( \\ \\ \\ \) En el primer capítulo se da la definición de biálgebras de Lie y se presentan algunos ejemplos de ellas. El segundo capítulo se define el espacio de curvas sobre una superficie y se demuestra que dicho espacio tiene estructura de biálgebra de Lie involutiva. El tercer capítulo está dedicado a definir el espacio de las palabras cíclicas V, los mapas corchete de Lie \([ \hspace{2 mm} ] : V ⊗ V \rightarrow V \) y cocorchete de Lie \(\delta: V \rightarrow V ⊗ V \). En el capítulo cuarto se establece una correspondencia entre los dos espacios anteriormente mencionados. Finalmente en el último capítulo se demuestra de forma combinatoria que el espacio de las palabras cíclicas tiene estructura de algebra de Lie y coálgebra de Lie y se muestra que existe una biyección entre el espacio de las palabras cíclicas y el espacio de curvas sobre una superficie que respeta las estructuras algebraicas mencionadas. La principal referencia bibliográfica es el artículo “ Combinatorial Lie bialgebras of curves on surfaces ” escrito por Moira Chas.

Condiciones de promediabilidad en fibrados de Fell - Laura Martí (2006)

Este trabajo tiene dos objetivos: por un lado, hacer una introducción a los fibrados de Fell sobre grupos discretos, presentando la definición, ejemplos y propiedades básicas, y por otro lado, probar algunos resultados nuevos que se refieren a la promediabilidad en este contexto. \( \\ \\ \\ \) Entre los ejemplos de fibrados de Fell que presentamos, el principal de ellos es el de los fibrados de Fell asociados a acciones parciales. Es por eso que incluimos las definiciones y algunos resultados básicos concernientes a las acciones parciales y sus acciones envolventes en el caso de espacios topológicos y \(C^* \)-álgebras. Asímismo, incluimos un resultado nuevo: dada una acción parcial \( \alpha\) en una \(C^* \)-álgebra conmuntativa, con acción envolvente \( \alpha ^e \) en un espacio con unidad, si \( \phi \) es un estado invariante por \( \alpha \), existe una unica extensión a una funcional lineal positiva invariante por \( \alpha^e \). \( \\ \\ \\ \) La noción de fibrado de Fell promediable que introducimos, es una extensión de la caracterización de grupo promediable proporcionada por la propiedad de contención débil. Dado un fibrado de Fell \( \mathcal{B} \) le asociamos dos \( C^*\) -álgebras, \(C^∗ (\mathcal{B}) \) y \(C_r^∗ (\mathcal{B})\). La primera de ellas se obtiene a partir de una propiedad universal, en tanto que la segunda se obtiene a partir de una representación. Ambas están relacionadas por un morfismo sobreyectivo \(λ^† : C^∗ (\mathcal{B}) \rightarrow C_r^* (\mathcal{B})\). Decimos que \( \mathcal{B} \) es promediable si \(λ^†\) es un isomorfismo, y esta situación es ventajosa ya que \(C^∗ (\mathcal{B}) \) y \(C^r (\mathcal{B}) \) se obtienen de formas tan distintas. \( \\ \\ \\ \) Dados dos fibrados de Fell \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\) de manera que \(\mathcal{A} ⊆ \mathcal{B} \) y se verifican otras condiciones de compatibilidad entre ellos, \(\mathcal{A} \) es promediable si y sólo si \(\mathcal{B}\) lo es (el directo de esta propiedad es un resultado de F. Abadie, y el recíıproco se prueba en este trabajo). En particular, si \( \alpha \) es una acción parcial y \( \beta \) es su acción envolvente, \( \alpha \) es promediable si y sólo si \( \beta \) lo es. Como corolario de este resultado probamos que toda representación parcial admite una dilatación unitaria. Gracias al resultado sobre extensión de estados invariantes y a la equivalencia de la promediabilidad de una acción parcial y de su acción envolvente, obtenemos una generalización de una propiedad de Zeller-Meier que relaciona la promediabilidad de un grupo con la promediabilidad de fibrados sobre el grupo obtenidos a partir de acciones.