En los últimos tiempos se han desarrollado una gran variedad de modelos basados en procesos de Lévy que buscan reproducir las propiedades empíricas de los precios de las opciones y de los retornos de sus subyacentes. Si bien este objetivo ha sido alcanzado razonablemente, los mismos no son capaces de explicar de forma satisfactoria la conexión entre la probabilidad histórica –que reproduce la dinámica del subyacente– y la de riesgo neutral –la cual se encuentra implícita en los precios de opciones. \( \\ \\ \\ \) Otra rama de la investigación ha optado por priorizar este nexo. La transformada clásica de Esscher forma parte de la misma, define una probabilidad libre de riesgo de forma que deviene equivalente con la histórica y un proceso de riesgo neutral que, al igual que el supuesto para el subyacente, resulta un proceso de Lévy. Sin embargo, el desajuste con los precios de mercado de las opciones es, en general, no despreciable. El núcleo del trabajo consiste en la propuesta de dos generalizaciones paramétricas para la transformada de Esscher que, sin resignar las propiedades mencionadas, logre que los precios teóricos de opciones se ajusten de forma razonable a las de mercado. La parte final del artículo incluye ilustración del método aplicado al índice S&P 500.
El objetivo final de este trabajo es la generalización, a las acciones parciales, del Teorema Simétrico de Imprimitividad de Raeburn, y en particular el Teorema de Green. \( \\ \\ \\ \) A partir de acciones de un grupo de Hausdorff localmente compacto, en una \(C^*\)-álgebra \(A\) y en un espacio de Hausdorff localmente compacto \(X\), podemos construir la acción diagonal en el fibrado trivial \(A \times X \rightarrow X \). De esta manera el teorema de Raeburn se traduce en un teorema sobre acciones en fibrados de \(C^*\)-álgebras. Este resultado tiene un enunciado para acciones parciales, las cuales se definen en el capítulo 2. La manera de probarlo es considerar primero el caso de acciones globales, para luego, utilizando la construcción de acciones envolventes, reducir la demostración a esa situación. Todo esto se hace en el capítulo 3. Finalmente, en el capítulo 4, se indica cómo obtener los teoremas de Raeburn y Green, y sus respectivos enunciados para acciones parciales, a partir de los resultados del capítulo 3. Además se discuten las situaciones planteadas para acciones parciales.
Esta tesis está dividida en tres partes, en la primera se presentan algunos resultados referidos a la estimación de conjuntos para el caso en que podemos discernir si un punto de una muestra pertenece o no al conjunto. En particular estudiaremos los casos en que el conjunto es el soporte de una densidad o un conjunto de nivel de la misma. La segunda se centra en el cálculo del contenido de Minkowski de su superficie lateral; serán necesarias hipótesis de regularidad sobre el borde del conjunto. La tercera parte se centra en el estudio del caso en el que no se puede determinar si los puntos están en el conjunto a estimar o no.
Este trabajo está dedicado al estudio del producto cruzado de una \(C^*\)-álgebra unital por un endomorfismo de acuerdo con la definición introducida por Ruy Exel. Dos características que distinguen esta construcción de otras similares son, por un lado, el hecho de no imponer condiciones sobre el endomorfismo, y por otro, la introducción de un operador de transferencia que desempeña el papel de “inversa" del endomorfismo en cuestión. Uno de los principales resultados aquí presentados es la identificación de este producto cruzado con el álgebra de Cuntz-Pimsner relativa (de acuerdo a la definición de Muhly y Solel) determinada por una correspondencia que está naturalmente asociada al endomorfismo. Posteriormente se estudian algunos ejemplos concretos de esta construcción y se la compara con otras nociones existentes del producto cruzado por un endomorfismo. Finalmente, se estudia en detalle esta construcción en el caso de álgebras conmutativas. Cuando el endomorfismo está inducido por un mapa de recubrimiento en un espacio compacto, se muestra cómo varias propiedades de su dinámica topológica se traducen en propiedades algebraico-analíticas del producto cruzado que él determina.
En este trabajo encontraremos para variedades de dimensión 3, un conjunto residual \(R\) en un abierto de \(Diff_m^1 (M) \) tal que todo difeomorfismo \(f \in R \) tiene todos sus exponentes de Lyapunov nulos en casi todo punto.
Este trabajo desarrolla la teoría de los juegos estocásticos transitorios, basado principalmente en resultados del libro de Filar y Vrieze; éstos son una clase particular de juego estocástico con horizonte infinito, en que se tiene un estado especial en que el juego se considera finalizado, que se alcanza con probabilidad uno, de modo que la suma total (sin descuento) de la ganancia instantánea a lo largo de los infinitos pasos resulta bien definida. En particular se llega a métodos concretos para hallar las estrategias óptimas para estos juegos y se incluye la aplicación a un juego de dados conocido como “la codicia” o “el uno”.
Esta tesis trata de teoremas ergódicos. Entendemos por teorema ergódico aquel que hace una afirmación sobre lo que le pasará casi seguramente a cierto tipo de sucesiones aleatorias. \( \\ \\ \\ \) Históricamente el primer teorema de este tipo es la Ley de Grandes Números, que afirma que para sucesiones de números aleatorios que son inde- pendientes e idénticamente distribuidos y además cumplen una condición de acotación (que en este caso es que tengan esperanza finita) casi seguramente la sucesión de promedios parciales convergerá a un número fijo (no aleatorio) que es la esperanza de cualquiera de las variables. Las primeras versiones de este teorema fueron demostradas a principios del siglo XIX, pero las obser- vaciones empı́ricas que motivan el teorema son mucho más antiguas.
La conjetura de medida cero para los conjuntos de Julia con interior vacío ha sido uno de los problemas centrales en dinámica holomorfa en una dimensión. En este trabajo presentamos una solución al problema, basados en los recientes trabajos de A. Cheritat y X. Buff. Ésto fue la culminación de un programa iniciado por su orientador común, A. Douady a comiensos de los 90. La respuesta negativa a la conjetura crea nuevas preguntas y las técnicas desarrolladas tienen aplicaciones sobre una gran variedad de problemas en el área.
Consideremos una bandada de pájaros ordenada según una jerarquía. En este trabajo estudiamos el alineamiento asintótico de las velocidades, o “flocking", en la bandada cuando cada uno de los pájaros corrige su velocidad, en cada etapa, de acuerdo a un promedio ponderado de las velocidades de los pájaros superiores a él en la jerarquía, donde la ponderación decrece con la distancia entre los pájaros. Este modelo, llamado de liderazgo jerárquico, fue propuesto y estudiado por Shen, modificando el modelo ya clásico propuesto por Cucker y Smale. En nuestro modelo elegimos al azar cuales interacciones actúan, respetando la jerarquía, en forma independiente para cada par de pájaros y cada tiempo, debilitando entonces la interacción en la bandada del modelo de Shen. Es decir, buscamos analizar casos donde la comunicación entre los pájaros se ve entorpecida por la presencia de cierto `ruido'. Los resultados obtenidos son análogos a los obtenidos por Shen, es decir, condiciones suficientes para la alineación asintótica de las velocidades, en otros términos, la existencia de flocking.
Este trabajo trata sobre problemas de seleccion de modelo. El capitulo 0 plantea un estudio general de estos problemas estadisticos. Dados un proceso estocastico y una familia de clases de modelos, con cada clase determinada por un parametro de estructura y cada modelo dentro de una clase descrito por un vector de parametros en un espacio cuya dimension depende de la estructura. Supongamos que dada una realizacion del proceso podemos estimar el vector de parametros si la estructura es conocida. La tarea es estimar esta ultima. \( \\ \\ \\ \) Trabajamos usando el concepto de criterio de informacion, el parametro de estructura es estimado mediante minimizar un valor asignado a cada clase de modelos. Los criterios mas utilizados son el Criterio de Informacion Bayesiano (BIC) y el principio del minimo largo de descripcion (MDL). El BIC consiste de dos terminos: menos el logaritmo de la maxima verosimilitud, esto mide la bondad de ajuste; y la mitad del numero de parametros libres por el logaritmo del tamaño muestral, esto penaliza modelos muy complejos. \( \\ \\ \\ \) En el capitulo 2, incluimos algunos resultados recientes en estimacion de cadenas de Markov de alcance variable (VLMC), los cuales nos ayudaran a entender mas en profundidad el problema planteado. Basados en Csiszar y Talata (2006) extendemos el concepto de arbol de contextos para procesos ergodicos arbitrarios y demostramos que los principios BIC y MDL dan estimadores fuertemente consistentes del arbol de contextos. \( \\ \\ \\ \) En el capitulo 3 presentamos una nueva e ingeniosa representacion de los modelos Markovianos: los modelos de arbol de contexto disperso (stms), una generalizacion de las cadenas de alcance variable, donde permitimos juntar conjuntos mas generales de estados con distribuciones similares, y preservamos la util estructura combinatoria de los arboles de contextos. El tema principal del trabajo es estudiar un metodo para estimar la estructura en esta clase de modelos parsimoniosos. Mostraremos resultados de consistencia para estimadores basados en el principio MDL, el objetivo es encontrar el menor arbol que determina las probabilidades de transicion. \( \\ \\ \\ \) Finalmente, en el capitulo 4 describimos brevemente algunas aplicaciones en Biologia y Teoria de la Informacion. Ilustramos como estas tecnicas pueden ser utilizadas para clasicar familias de proteinas. Ademas mostramos como se pueden utilizar para comprimir imagenes bitonales, dando lugar a un metodo de compresion sin perdida que mejora la performance de los metodos basados en arboles de contexto, y de varios algoritmos populares de compresion.
En esta tesis presentamos resultados genéricos de difeomorfismos de variedades relacionados con una conjetura que afirma que una clase homoclínica genérica con interior ha de ser toda la variedad. En particular, damos una prueba nueva para el caso en dimensión 2 (este resultado se encontraba probado) y una prueba para un caso particular en dimensión 3 (por ejemplo, cuando la clase homoclínica se encuentra lejos de tangencias).
El tema principal de este trabajo es el estudio del número de soluciones de un sistema de \( m \) ecuaciones polinomiales en \( m \) incógnitas reales, cuando los coeficientes son tomados al azar. Mostraremos dos enfoques diferentes de como atacar el problema. \( \\ \\ \\ \) El primero es utilizado por M. Shub y S. Smale, que introducen una medida particular en el espacio de coeficientes con cierta propiedad geométrica (invarianza bajo la acción del grupo ortogonal) y mediante la Fórmula de co-área logran computar el promedio del número de soluciones. \( \\ \\ \\ \) El segundo enfoque se debe a J.M. Azaïs y M. Wschebor, en donde utilizan la fórmula de Rice que expresa los momentos del número de pre-imágenes de un campo aleatorio \(f : M \rightarrow \mathbb{R}^d \), donde \( M \) es un subconjunto de \(\mathbb{R}^d\) , mediante una integral. Este nuevo enfoque permite generalizar el primero a otras medidas en el espacio de coeficientes. En particular mostraremos como se puede atacar con estos métodos un nuevo problema. Dicho problema consiste en estudiar que le sucede al número de soluciones de un sistema polinomial determinístico cuando a éste se lo perturba aleatoriamente. \( \\ \\ \\ \) Más precisamente, consideraremos sistemas polinomiales aleatorios de la forma \(P_i (t) + X_i (t) = 0\), \(t \in \mathbb{R}^m\), \(i = 1, . . . , m\), donde los \(P_i′ s\) (señal ) son polinomios no aleatorios y \(X_i′s\) (ruido) son polinomios aleatorios independientes con distribución Gaussiana centrada invariantes bajo transformaciones ortogonales del espacio. Para cada \( i\) fijo, los polinomios \( P_i \) y \( X_i \) tienen grado efectivo \( d_i \). \( \\ \\ \\ \) Probaremos que bajo ciertas hipótesis en lo referente a la relación entre la señal y el ruido, el cociente entre el número esperado de soluciones del sistema perturbado y el número esperado de soluciones del sistema centrado, tiende geométricamente a cero cuando el tamaño del sistema crece. Esto significa que el comportamiento del valor esperado del número de soluciones es dominado por el ruido. \( \\ \\ \\ \) Además de establecer los pre-requisitos geométricos necesarios para estudiar el primer enfoque, incluiremos una demostración del teorema de Bézout. También estudiaremos la conexión entre los dos enfoques, el cual nos ayudará entender más en profundidad el problema planteado.
La teoría de dualidad de variedades proyectivas, en particular de cónicas planas, es un tema clásico de la geometría. Por otro lado, y bajo distintas apariencias, las variedades proyectivas duales han sido consideradas en varias ramas de la matemática. En este trabajo nos concentramos en el estudio de la dualidad en el contexto de las variedades tóricas proyectivas. En particular, clasificamos y damos una descripción completa de las variedades tóricas autoduales. Esta clasificación nos permite construir familias infinitas de variedades tóricas autoduales no lisas, ampliando de este modo las familias de variedades autoduales conocidas hasta el momento.
Este trabajo trata de estudiar la estructura algebraica del espacio de clases libres de homotopía de curvas sobre una superficie y del espacio de las palabras cíclicas. \( \\ \\ \\ \) En el primer capítulo se da la definición de biálgebras de Lie y se presentan algunos ejemplos de ellas. El segundo capítulo se define el espacio de curvas sobre una superficie y se demuestra que dicho espacio tiene estructura de biálgebra de Lie involutiva. El tercer capítulo está dedicado a definir el espacio de las palabras cíclicas V, los mapas corchete de Lie \([ \hspace{2 mm} ] : V ⊗ V \rightarrow V \) y cocorchete de Lie \(\delta: V \rightarrow V ⊗ V \). En el capítulo cuarto se establece una correspondencia entre los dos espacios anteriormente mencionados. Finalmente en el último capítulo se demuestra de forma combinatoria que el espacio de las palabras cíclicas tiene estructura de algebra de Lie y coálgebra de Lie y se muestra que existe una biyección entre el espacio de las palabras cíclicas y el espacio de curvas sobre una superficie que respeta las estructuras algebraicas mencionadas. La principal referencia bibliográfica es el artículo “ Combinatorial Lie bialgebras of curves on surfaces ” escrito por Moira Chas.
Este trabajo tiene dos objetivos: por un lado, hacer una introducción a los fibrados de Fell sobre grupos discretos, presentando la definición, ejemplos y propiedades básicas, y por otro lado, probar algunos resultados nuevos que se refieren a la promediabilidad en este contexto. \( \\ \\ \\ \) Entre los ejemplos de fibrados de Fell que presentamos, el principal de ellos es el de los fibrados de Fell asociados a acciones parciales. Es por eso que incluimos las definiciones y algunos resultados básicos concernientes a las acciones parciales y sus acciones envolventes en el caso de espacios topológicos y \(C^* \)-álgebras. Asímismo, incluimos un resultado nuevo: dada una acción parcial \( \alpha\) en una \(C^* \)-álgebra conmuntativa, con acción envolvente \( \alpha ^e \) en un espacio con unidad, si \( \phi \) es un estado invariante por \( \alpha \), existe una unica extensión a una funcional lineal positiva invariante por \( \alpha^e \). \( \\ \\ \\ \) La noción de fibrado de Fell promediable que introducimos, es una extensión de la caracterización de grupo promediable proporcionada por la propiedad de contención débil. Dado un fibrado de Fell \( \mathcal{B} \) le asociamos dos \( C^*\) -álgebras, \(C^∗ (\mathcal{B}) \) y \(C_r^∗ (\mathcal{B})\). La primera de ellas se obtiene a partir de una propiedad universal, en tanto que la segunda se obtiene a partir de una representación. Ambas están relacionadas por un morfismo sobreyectivo \(λ^† : C^∗ (\mathcal{B}) \rightarrow C_r^* (\mathcal{B})\). Decimos que \( \mathcal{B} \) es promediable si \(λ^†\) es un isomorfismo, y esta situación es ventajosa ya que \(C^∗ (\mathcal{B}) \) y \(C^r (\mathcal{B}) \) se obtienen de formas tan distintas. \( \\ \\ \\ \) Dados dos fibrados de Fell \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\) de manera que \(\mathcal{A} ⊆ \mathcal{B} \) y se verifican otras condiciones de compatibilidad entre ellos, \(\mathcal{A} \) es promediable si y sólo si \(\mathcal{B}\) lo es (el directo de esta propiedad es un resultado de F. Abadie, y el recíıproco se prueba en este trabajo). En particular, si \( \alpha \) es una acción parcial y \( \beta \) es su acción envolvente, \( \alpha \) es promediable si y sólo si \( \beta \) lo es. Como corolario de este resultado probamos que toda representación parcial admite una dilatación unitaria. Gracias al resultado sobre extensión de estados invariantes y a la equivalencia de la promediabilidad de una acción parcial y de su acción envolvente, obtenemos una generalización de una propiedad de Zeller-Meier que relaciona la promediabilidad de un grupo con la promediabilidad de fibrados sobre el grupo obtenidos a partir de acciones.
Transformadas generalizadas de Esscher en la calibración de modelos para precios de opciones - Juan Cirielli (2011)