Tesis de Maestría

Acciones quasi conformes en superficies - Marcos Barrios (2017)

El objetivo de este trabajo es estudiar la alternativa de Tits en el contexto de superficies de Riemann compactas. En contrecto, estudiar qué ocurre con las acciones quasi conformes. En el primer capítulo introduciremos el problema, y motivaremos las hipótesis adicionales en comparación al problema en dimensión 1, además de algunos ejemplos sencillos en dimensión 2. En el segundo capítulo estudiaremos las acciones K quasi conformes en superficies distinguiendolas por su género. Concluyendo que estas son conjugadas a acciones conformes. En el tercer capítulo probaremos la herramienta fundamental en la que se basa el capítulo 2 (solución a la ecuación de Beltrami).

Anosov Topológicos en el Plano - Gonzalo Cousillas (2017)

Sea \( X\) un espacio topológico, se dice que \( f:X \rightarrow X \) homeomorfismo, es Anosov topológico si es expansivo topológico y tiene la propiedad del sombreado topológico. En el presente trabajo se introducen estos conceptos, y se prueba como resultado principal que un Anosov topológico que preserva orientación en el plano tiene un punto fijo.

Geometría a Gran Escala de Grupos de Heintze - Emiliano Sequeira (2017)

Un teorema de Heintze del 74 muestra que toda variedad Riemanniana homogénea, conexa y de curvatura negativa es isométrica a un grupo de Lie soluble G dotado de una métrica invariante por traslaciones a izquierda. El grupo \( G \) resulta ser un producto semidirecto \( N \rtimes_{\phi} \mathbb{R} \), donde \( N \) es un grupo de Lie nilpotente y \( \phi \) queda determinado por una derivación \( \alpha \) en el álgebra de Lie de N, cuyos valores propios tienen parte real positiva. Estos son los llamados grupos de Heintze y los notamos \( N \rtimes_{\phi} \mathbb{R} \). Como la elección de la métrica invariante a izquierda no cambia la clase de cuasiisometría de un grupo de Lie, la geometría a gran escala de estos sólo depende de su estructura como grupos de Lie. De aquí el afán por encontrar invariantes de cuasiisometría algebraicos. La conjetura más importante en este sentido es la siguiente: Dos grupos de Heintze puramente reales son cuasi-isométricos si y sólo si son isomorfos. Se dice que el grupo \( N \rtimes_{\phi} \mathbb{R} \) es puramente real si \( \alpha \) tiene todos sus valores propios reales. Esta conjetura ha sido probada sólo en algunos casos particulares. Existen, sin embargo, algunos resultados un poco más débiles que pueden obtenerse en general, entre ellos la invarianza de ciertas estructuras algebraicas. Se prueba, luego de pasar por la demostración del teorema de Heintze y algunos preliminares, que el polinomio característico de la derivación \( \alpha \) (a menos de multiplicarla por un real positivo) es invariante por cuasi-isometrías. Además veremos que si el grupo nilpotente \( N \) es un grupo de Heisenberg, entonces la forma de Jordan de la derivación (nuevamente a menos de homotecias) es invariante por cuasi-isometrías.

Medidas tipo-SRB y Fórmula de Pesin en Sistemas C 1 -Expansores - Fernando Valenzuela (2017)

Estudiaremos mapas expansores \( f \) de regularidad \( C^1 \) en una variedad Riemanniana compacta \( M \) de dimensión finita. Nuestro principal objetivo es demostrar que las medidas pseudo-físicas, tambien llamadas “tipo-SRB” (similares a las de Sinai-Ruelle-Bowen), cumplen la Fórmula de Pesin para la Entropía. Estas son medidas invariantes que se caracterizan por sus buenas propiedades estadísticas. En algunos casos, como por ejemplo para mapas de clase \( C^2 \), satisfacen también las definiciones clásicas (más restrictivas) de las medidas SRB y de las medidas físicas.

Sistemas Parcialmente Hiperbólicos en Fibrados por Círculos sobre Superficies - Mario Shannon (2016)

El contexto general en el que se enmarca esta tesis es el de dar condiciones necesarias y suficientes para la existencia difeomorfismos parcialmente hiperbólicos en fibrados por círculos sobre superficies \( M \rightarrow \Sigma \). Estas 3-variedades se pueden clasificar mediante un invariante que se llama número de Euler, que es un número entero que denotaremos por \(e(M )\). Un fibrado (su clase de difeomorfismos como variedad de dimensión tres) queda completamente determinado por su base \(\Sigma \) y su número de Euler \(e(M)\). Los resultados previos conocidos hasta el momento son los siguientes: \( \\ \\ \\ \) \( \textbf{1} \). Si la base del fibrado es la esfera \(S^ 2\) entonces \(M\) no admite parcialmente hiperbólicos. (En particular, la esfera \(S^3\) no admite sistemas parcialmente hiperbólicos). Esto es un trabajo de Burago e Ivanov del año 2008. \( \\ \\ \\ \) \( \textbf{2} \). Cuando la base es el toro entonces todo fibrado \(M\) admite parcialmente hiperbólicos. De hecho, existe una clasificación de estos sistemas (Potrie- Hammerlindl). \( \\ \\ \\ \) \( \textbf{3}\). Cuando la base \( \Sigma \) es una superficie hiperbólica, E. Ghys probó (entre otras cosas) que uno de estos fibrados admite un flujo de Anosov si y sólo si \(e(M )\) es un divisor de la característica de Euler \(χ(\Sigma)\). Por lo tanto, cuando esto ocurre, \(M\) admite parcialmente hiperbólicos. El resultado central que probaremos en esta tesis es el siguiente: \( \\ \\ \\ \) \( \\ \\ \\ \) \( \textbf{Teorema:} \) Sea \(M\) una 3-variedad cerrada y orientable, que admite una estructura de fibrado por círculos sobre una superficie cerrada y orientable \( \Sigma \). Entonces \(M\) admite un difeomorfismo parcialmente hiperbólico transitivo si y sólo si \(e(M )\) divide a \(χ(\Sigma)\) (si y sólo si \(M\) admite un flujo de Anosov). Este trabajo fue hecho en colaboración con Rafael Potrie y Andrew Hammerlindl.

Generalizaciones de la noción de bimonoide - Sara Vilar del Valle (2016)

Este trabajo trata sobre generalizaciones categóricas de la noción de k-biálgebra. La generalización primera y conocida es la de bimonoide en una categoría monoidal trenzada. Las generalizaciones que existen y de las que trata la tesis parten de una mónada (como generalización del álgebra) y toman dos posibles caminos: \( \\ \\ \\ \) Eliminar la hipótesis de la existencia de una trenza en la categoría de base. Esta corriente trabaja en el contexto de categorías monoidales (no necesariamente trenzadas) y considera functores comonoidales que son además mónadas, con ciertas relaciones de compatibilidad entre estas estructuras. Este camino da lugar a las llamadas mónadas comonoidales; de manera dual y análoga, se pueden considerar las llamadas comónadas monoidales como otra posible generalización (que parte de una comónada como generalización de la estructura de k-coálgebra). Eliminar la hipótesis de monoidal y considerar una transformación natural que ocupa el lugar de trenza (conocida como ley distributiva). Los autores consideran una categoría cualquiera y modelan un bimonoide a través de un functor que es a la vez mónada y comónada y donde estas estructuras conviven bajo ciertas relaciones de compatibilidad que pueden ser enunciadas a través de la ley distributiva. Este camino da lugar a las llamadas bimónadas. En ambos contextos se tiene la noción extendida que agrega una antípoda (mónada comonoidal de Hopf y bimónada de Hopf respectivamente) y se generalizan resultados conocidos de la teoría de álgebras de Hopf. No consideraremos estas nociones en el presente trabajo. Este trabajo tiene por objetivo, además de recopilar ejemplos de mónadas y comónadas, revisar estas dos corrientes de generalización, presentando las definiciones, algunos resultados importantes y algunos ejemplos.

Cohomología en especies - Javier Cóppola (2015)

El principal objetivo de este trabajo es el estudio de la cohomología de comonoides linealizados en especies desde el punto de vista de la cohomología de objetos cosimpliciales, y la relación de esta cohomología en grados bajos con el torcimiento de ciertas estructuras. Esto último viene inspirado por resultados conocidos en teoría de grupos sobre torcimiento de multiplicación y de asociadores. En el primer capítulo presentamos nuestro objeto de estudio: las especies, en particular las especies comonoides linealizadas. Daremos las definiciones básicas y los principales ejemplos. En el segundo capítulo mostramos una familia de ejemplos de cohomologías conocidas, desde un punto de vista en común: los objetos cosimpliciales. En el tercer capítulo definimos la cohomología de una especie comonoide linealizada dentro del marco presentado en el capítulo anterior, y presentamos algunos ejemplos. En el cuarto capítulo vinculamos la cohomología en grados bajos con el torcimiento de estructuras algebraicas. Presentamos resultados conocidos para grupos, un resultado conocido para grado 2 en especies, y un resultado original para grado 3 en especies. En el quinto capítulo mostramos una definición del producto cup en la cohomología de anillos cosimpliciales, y unos primeros resultados obtenidos en este contexto.

Sobre la clasificación combinatoria de variedades esféricas - Viviana Ferrer (2014)

El objetivo de este trabajo es estudiar la clasificación combinatoria de variedades esféricas, mas precisamente establecer un diccionario entre las variedades esféricas y determinados objetos combinatorios que llamaremos abanicos coloreados. Estos objetos combinatorios permiten describir la geometría de las variedades esféricas, por ejemplo es posible describir las orbitas y sus adherencias a partir de ellos, decidir si la variedad es afín o completa. Este diccionario generaliza al que se obtiene para variedades teóricas.

Módulo de Brandt Generalizado - Gustavo Rama (2014)

El objetivo de este trabajo es presentar una generalización del módulo de Brandt para formas cuadráticas ternarias definidas positivas descrito por Birch. Para ello introducimos la norma spin para espacios cuadráticos. Con esto podemos definir el módulo de Brandt generalizado para retıculos cuadráticos en espacios cuadráticos ternarios definidos positivos. También se exhiben ejemplos de la descomposición de dichos módulos en espacios propios comunes a todos los operadores de Hecke del módulo. Los algoritmos para calcular los módulos de Brandt generalizados y sus operadores de Hecke son descritos e implementados.

Estructura de conjuntos hiperbólicos en toros - Adriana da Luz (2013)

En esta tesis presentaremos varios resultados acerca de conjuntos hiperbólicos invariantes. En particular nos interesa estudiar la siguiente pregunta planteada por Katok y Hasselblatt en \( \\ \\ \\ \) \( \textbf{Pregunta.}\) Sea \(\Lambda \) un conjunto hiperbólico, y \(V\) un entorno de \( \Lambda \) ¿Existe un conjunto con estructura de producto local \( \tilde{\Lambda} \) tal que \( \Lambda \subset \tilde{\Lambda} \subset V \) ? \( \\ \\ \\ \) Construiremos nuevos contra-ejemplos para esta pregunta. Mostraremos que hay ejemplos de conjuntos que no cumplen lo anterior en automorfismos lineales del \( \mathbb{T}^n \) y por lo tanto estos ejemplos son robustos. \( \\ \\ \\ \) También construiremos ejemplos de conjuntos transitivos que no están contenidos en ningún conjunto con estructura de producto local. Los ejemplos de este tipo construidos hasta ahora por Crovisier y por Fisher, ó eran en dimensión mayor o igual a 4, ó no eran transitivos. Construiremos ejemplos transitivos y robustos en \( \mathbb{T}^3 \) y probaremos que en dimensión 2 no es posible generar ejemplos transitivos.

Acciones C1 de algunos grupos solubles en dimensión 1 - Ignacio Monteverde (2013)

El objetivo de este trabajo es estudiar las acciones de algunos grupos solubles en \( \mathbb{R} \) y \( S^1 \), con un especial hincapié en las acciones \(C^1\) . Guelman y Liousse caracterizan en las acciones de \(BS(1, n) \) en \(Difeo^1_+ (S^1) \), en nuestro trabajo utilizamos algunas resultados que aparecen en dicho artículo y damos sus pruebas. Luego introducimos los grupos \(Γ_{n,k} \) y generalizamos a estos los resultados obtenidos para \(BS(1, n)\). Finalmente, se presentan los grupos “abelian by cyclic”, para los cuales se logran ciertos resultados similares en algunos casos particulares, quedando el caso general como una pregunta sin responder.

Ejemplos Establemente Ergódicos - Gabriel Nuñez (2013)

En general no es sencillo encontrar difeomorfismos Establemente Ergódicos y actualmente se conocen pocos ejemplos (no triviales) de este tipo. En este trabajo se presentará nuevas técnicas para probar la Estabilidad Ergódica de un difeomorfismo bajo ciertas hipótesis. Además dichas técnicas permitirá probar lo establecido anteriormente de una manera más simple de la que se conoce hasta hoy. Por ultimo se aplicará ejemplos ya conocidos.

Consistencia conjunta de las CCI y el rasgo en TRI multidimensional mediante regresión no o paramétrica - Mario Luzardo (2013)

La Teoría de Respuesta al Ítem es un enfoque dentro de la teoría de los test que bajo hipótesis adicionales permite un acercamiento a problemas que la Teoría Clásica de los test no permite. En principio presenta los resultados de el acierto a un ítem en función de un rasgo latente continuo, más exactamente como una probabilidad condicional a la cual se llama curva característica del ítem. El desarrollo de este enfoque permitirá la posibilidad de obtener mediciones invariantes respecto a los individuos implicados y de los ítems utilizados. Esto es sumamente importante ya que en la Teoría Clásica al ser el resultado de la medición función del instrumento hay serias dificultades para establecer la equivalencia de puntuaciones medidas por dos instrumentos diferentes en la misma variable. \( \\ \\ \\ \) Este problema fue planteado por Thurstone en 1928 donde claramente explica que la medida que de un instrumento debe ser independiente de los objetos medidos. También las propiedades psicométricas obtenidos mediante teoría clásica, como ser la fiabilidad o dificultad de los ítems dependen de la muestra de sujetos a los cuales se ha aplicado el instrumento de medida. Es así que la Teoría de respuesta al Ítem tiene como sus dos principales objetivos la de obtener mediciones invariantes respecto de los test usados y que las propiedades de estos test no dependan de los sujetos medidos. A partir de esto también se obtienen otra serie de ventajas de orden técnico como ser el error típico de medida para los diferentes valores del rasgo y las funciones de información de los ítems.

Flujos expansivos singulares - Alfonso Artigue (2012)

En este trabajo estudiamos flujos expansivos, especialmente en presencia de puntos de equilibrio. Analizamos propiedades generales así como su estructura en variedades de dimensión uno y dos. Finalmente damos una aplicación a los billares poligonales plano.

Campos de vectores libres de cohomología - Joaquín Brum (2012)

En esta tesis daremos los fundamentos básicos del problema de la resolución de la ecuación cohomológica y nos focalizaremos en el problema inverso de conocer que campos de vectores están libres de cohomología. Mostraremos avances recientes hacia la prueba de la conjetura de Katok que dice que los campos de vectores libres de cohomología son \(C^{\infty} \) conjugados a campos de vectores Diofantinos en toros. Al final mostraremos que existe una conjugación diferenciable (en el sentido Chen-Iglesias) entre la dinámica de un campo sin cohomología y la dinámica lineal en un grupo abeliano.

Criptografía de Curvas Elípticas y Logaritmo Discreto. Implementación de Autoreducibilidad aleatoria - Claudio Qureshi (2012)

Este trabajo se enmarca en el contexto de Criptografía de Curvas Elípticas. Uno de los tópicos principales en dicha área son los criptosistemas basados en el Problema del Logaritmo Discreto (PLD) en Curvas elípticas. Este es un caso particular de criptosis- temas de clave pública que basa su seguridad en la dificultad de resolver el PLD en un grupo abeliano. \( \\ \\ \\ \) Inicialmente se tomó como grupo, el grupo multiplicativo de un cuerpo finito. Al ser descubierto un algoritmo de tiempo subexponencial para resolver el PLD en esos grupos (basado en el Index Calculus) se necesitaban claves cada vez más largas para garantizar un buen nivel de seguridad. \( \\ \\ \\ \) En 1985 independientemente Koblitz y Miller propusieron utilizar el grupo formado por los puntos racionales de una curva elíptica definida sobre un cuerpo finito. La ventaja primordial, es que se lograban alcanzar los mismos niveles de seguridad que utilizando el grupo multiplicativo de un cuerpo finito utilizando claves mucho más cortas. Esta característica lo hacía ideal para ser utilizado en dispositivos con entornos operativos restringidos (limitaciones de memoria, ancho de banda, potencia, etc). \( \\ \\ \\ \) Hasta el momento no se ha encontrado un algoritmo de tiempo subexponencial capaz de resolver el PLD en curvas elíıpticas en general y se ha convertido en uno de los principales estándares a ser utilizado en la actualidad. No todas las curvas elípticas definidas sobre el mismo cuerpo finito ofrecen el mismo nivel de seguridad respecto del PLD. Se conocen criterios que hacen a una curva débil, todos ellos se reducen de alguna forma a alguna condición sobre la cantidad de puntos racionales que posea la curva. Sin embargo, aún es un problema en abierto determinar si el hecho de que dos curvas (definidas sobre el mismo cuerpo finito) posean la misma cantidad de puntos racionales implica necesariamente que la dificultad de resolver el PLD en ambas curvas sea equivalente. \( \\ \\ \\ \) Una manera de probar la equivalencia del PLD en dos grupos es encontrando un isomorfismo entre ambos grupos que tanto él, como su inversa puedan ser computados eficientemente (digamos, en tiempo polinomial por ejemplo). Esto es fácil de ver, dado que los isomorfismos preservan el orden de los elementos. Generalizando esta idea, se puede llegar a la conclusión que basta con que haya una cadena de homomorfismos de grupo (cada una con kernel de cardinal pequeño y conocido) que partiendo de uno de los grupos llegue al otro; en este caso cada homomorfismo debe ser eficientemente computable.

La fórmula de Gross sobre alturas y valores especiales de L-series - Maria S. Villar (2012)

La correspondencia de Eichler relaciona en forma no canónica el espacio, intuitivamente analítico, de las formas modulares de peso 2 para \( \Gamma_0 ( N ) \), con un espacio intuitivamente algebraico construido a partir la aritmética de órdenes maximales de un álgebra de cuaterniones ramificada en \(N \) e infinito, para \( N \) primo. \( \\ \\ \\ \) Se define la \(L\)-serie \(L_{\mathcal(A)} ( f , s) \) para \(f\) una forma cuspidal de peso 2 para \(Γ_0 ( N ) \) vector propio para los operadores de Hecke; y \(\mathcal{A} \) una clase de ideales en el anillo de enteros \( \mathcal{O}_K \) del cuerpo cuadrático imaginario \(K\) de discriminante \(− D\), con \(D\) primo distinto de \(N\). \( \\ \\ \\ \) La fórmula de Gross expresa el valor central \(L_{\mathcal{A}} ( f , 1) \) en función del producto interno de \( f \) con cierta forma modular \(G_{\mathcal{A}} \) construida a partir de inmersiones del cuerpo cuadrático de discriminante \(− D \) en el álgebra de cuaterniones ramificada en \(N\) e infinito, y la correspondencia de Eichler. \( \\ \\ \\ \) En estas páginas se presenta una formulación del resultado de Gross; la demostración, que consiste en una manipulación esencialmente analítica del lado de la \(L\)-serie, y una manipulación algebraica del lado de las álgebras de cuaterniones que conducen al mismo resultado; y algunos corolarios relacionados con formas modulares de peso medio entero y la correspondencia de Shimura.

Clasificación de Álgebras Toupie - Dalia Artenstein (2011)

El objeto de estudio de este trabajo está enmarcado dentro del área de la teoría de representaciones de álgebras, y dentro de ésta, en el uso de carcajes como herramienta para la comprensión de la categoría de los módulos asociados a un álgebra. \( \\ \\ \\ \) Más específicamente, el objetivo del trabajo será clasificar con respecto a su tipo de representación a un conjunto de álgebras llamadas Toupie. Dichas álgebras son de la forma \(kQ/I\) siendo \(kQ\) el álgebra de caminos de un carcaj Toupie e \( I \) un ideal admisible. Un carcaj Toupie es aquel que tiene única fuente, único pozo y dado un vértice que no es pozo ni fuente una única flecha llega a é́l y una única flecha sale de él. Cuando decimos clasificar según su tipo de representación nos referimos a agrupar a las álgebras Toupie en tres clases: las de tipo de representación finita, tipo de representación ́infinita mansa y tipo de representación infinita salvaje según la cantidad de representaciones indescomponibles no isomorfas que posean. \( \\ \\ \\ \) La importancia de clasificar las á́lgebras Toupie en la teoría de representaciones de álgebras radica en el hecho que el carcaj asociado a un álgebra triangular (\(Q\), el carcaj asociado al álgebra triangular no posee ciclos orientados) se escribe como unión de carcajes Toupie. Estas álgebras ya han sido trabajadas en “Toupie algebra, some examples of laura algebras” y en “Hochschild cohomology of a generalisation of canonical algebras.”