Conjetura de Serre y curvas elípticas en cuerpos cuadráticos reales - Santiago Radi (2021)

Consideremos el “Último Teorema de Fermat” como puntapié a las herramientas que vamos a exponer. El “Último Teorema de Fermat”, enuncia que si \( n\) es un entero mayor a 2, y existen enteros \( a, b, c \) tales que $$a^n + b^n = c^n $$ entonces \( abc = 0 \). Es claro que si, por ejemplo \(b = 0\), entonces poniendo \(a = c\), tenemos infinitas soluciones enteras al problema. Esto lo podemos hacer siempre que uno de los tres términos sea cero. Llamaremos soluciones triviales a este tipo de soluciones. Otra forma distinta de enunciar el teorema es decir entonces que no hay soluciones no triviales si \(n > 2\). \( \\ \) Uno se encuentra entonces con un problema en el cual no puede “chequear” a mano todos los casos, ni de \(a\), ni de \(b\), ni de \(c\), ni de \(n\), porque son infinitos. Es aquí cuando la matemática necesita de estrategias diferentes y de nueva formas y objetos para atacar el problema. La estrategia es simple y es la siguiente (que es muy usual en problemas matemáticos): asociarle a una posible solución no trivial un objeto con un determinado conjunto de propiedades, y luego concluir que tal objeto no puede existir. Lo difícil es claro, definir el objeto correcto y encontrarle propiedades que lleven a esa conclusión. En este problema en particular, ese trabajo llevó casi 400 años, pero permitió desarrollar una nueva forma de estudiar problemas aritméticos que se sigue utilizando a día de hoy y a la que se le siguen buscando nuevas generalizaciones para resolver problemas más difíciles.